Il perchè delle Hp per Gauss-Green & Riduzione
Salve a tutti, vorrei qualche chiarimento sulle ipotesi per le formule di Gauss-Green e per le formule di riduzione. In particolare:
-Per quanto riguarda Gauss-Green la dimostrazione che ho studiato io ( non so se ce ne sono altre ) consiste nel calcolare separatamente i due integrali (utilizzando le formule di riduzione per uno) e far vedere che sono uguali. Le ipotesi sono: $f in C^1 $ e dominio regolare. La seconda come si spiega? Forse perchè in un dominio non regolare avremmo difficoltà nel calcolare l'integrale di linea lungo la frontiera?
- Per quanto riguarda le formule di riduzione: nelle ipotesi trovo $\alpha(x) $ e $ \beta(x)$ continue, ma non capisco in quale punto della dimostrazione sfrutto questa cosa...
Spero in un qualsiasi aiuto da parte vostra...
-Per quanto riguarda Gauss-Green la dimostrazione che ho studiato io ( non so se ce ne sono altre ) consiste nel calcolare separatamente i due integrali (utilizzando le formule di riduzione per uno) e far vedere che sono uguali. Le ipotesi sono: $f in C^1 $ e dominio regolare. La seconda come si spiega? Forse perchè in un dominio non regolare avremmo difficoltà nel calcolare l'integrale di linea lungo la frontiera?
- Per quanto riguarda le formule di riduzione: nelle ipotesi trovo $\alpha(x) $ e $ \beta(x)$ continue, ma non capisco in quale punto della dimostrazione sfrutto questa cosa...
Spero in un qualsiasi aiuto da parte vostra...
Risposte
Ciao ,
anche io sto studiando questi argomenti e da quanto ho capito la dimostrazione è simile. Prima ho calcolato l'integrale sul dominio e poi quello sul bordo "spezzandolo" in quattro sotto integrali lungo il bordo ; infine dimostrando che i due integrali sono uguali dimostro una delle due formule di Gauss - Green.
Per le domande che hai posto posso provare a risponderti alla prima , ma non ti assicuro sia corretta : chiedi perchè il dominio debba essere regolare : io nella mia dimostrazione ho scritto "dominio D regolare a entrambi gli assi" e questo sembra che permetta di calcolare l'integrale sul dominio considerando il dominio stesso come (in questo caso) y-semplice e poter poi applicare le formule di riduzione.
Per la seconda domanda invece mi fai riflettere perchè nemmeno io ritrovo nella dimostrazione dove risulti utile che $alpha(x)$ e $beta(x)$ siano continue.
anche io sto studiando questi argomenti e da quanto ho capito la dimostrazione è simile. Prima ho calcolato l'integrale sul dominio e poi quello sul bordo "spezzandolo" in quattro sotto integrali lungo il bordo ; infine dimostrando che i due integrali sono uguali dimostro una delle due formule di Gauss - Green.
Per le domande che hai posto posso provare a risponderti alla prima , ma non ti assicuro sia corretta : chiedi perchè il dominio debba essere regolare : io nella mia dimostrazione ho scritto "dominio D regolare a entrambi gli assi" e questo sembra che permetta di calcolare l'integrale sul dominio considerando il dominio stesso come (in questo caso) y-semplice e poter poi applicare le formule di riduzione.
Per la seconda domanda invece mi fai riflettere perchè nemmeno io ritrovo nella dimostrazione dove risulti utile che $alpha(x)$ e $beta(x)$ siano continue.
Ma per applicare le formule di riduzione occore che il dominio sia normale, e non necessariamente regolare, che è un'aggiunta! :S
Grazie per la risposta...
Grazie per la risposta...
Io pensavo dovesse essere regolare ... però aspettiamo qualcuno più esperto che chiarisca le idee 
...se nelle Hp della dimostrazione delle formule di riduzione c'è quella di regolarità del dominio aggiungo allora un'altra domanda: Dove la si usa? xD
"Slashino":Esatto. Se un dominio non è regolare la frontiera può essere benissimo una porcheria: pensa ad esempio ad un dominio con un bordo frattale, che ha lunghezza infinita. Come lo definisci un integrale di linea su una cosa simile?
Salve a tutti, vorrei qualche chiarimento sulle ipotesi per le formule di Gauss-Green e per le formule di riduzione. In particolare:
-Per quanto riguarda Gauss-Green la dimostrazione che ho studiato io ( non so se ce ne sono altre ) consiste nel calcolare separatamente i due integrali (utilizzando le formule di riduzione per uno) e far vedere che sono uguali. Le ipotesi sono: $f in C^1 $ e dominio regolare. La seconda come si spiega? Forse perchè in un dominio non regolare avremmo difficoltà nel calcolare l'integrale di linea lungo la frontiera?
Invece le richieste di normalità rispetto ad un asse servono solo per aiutarsi nella dimostrazione, in realtà non sono necessarie. Addirittura, nella sua forma generale questo teorema vale su arbitrarie varietà differenziabili, oggetti che non sono necessariamente spazi euclidei e quindi non hanno neanche gli assi cartesiani. Altro che dominio normale!
http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem
- Per quanto riguarda le formule di riduzione: nelle ipotesi trovo $\alpha(x) $ e $ \beta(x)$ continue, ma non capisco in quale punto della dimostrazione sfrutto questa cosa...
E' come la richiesta di normalità: serve per aiutarti nella dimostrazione ma volendo si può indebolire moltissimo. Qualche ipotesi la devi richiedere, perché sennò rischi di includere funzioni \(\alpha, \beta\) troppo brutte e che fanno perdere senso all'integrale. Però nel contesto dell'integrale multiplo ordinario è difficile dare una versione proprio ottimale di questo teorema, e quindi uno si accontenta dell'ipotesi di continuità che è sufficientemente ampia da includere tutte le applicazioni.
Per la cronaca, la versione generale delle formule di riduzione si chiama teorema di Fubini (sui testi italiani si trova spesso la dicitura teorema di Fubini - Tonelli) e si studia nel contesto della teoria della misura.
Chiarissimo, grazie mille.
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