Il numero $e$ di Neper (teoria)
Descrivere il numero $e$ di Neper (senza dimostrazione).
$a_n=(1+1/n)^n$
1. $lim_(n->+oo)(1+1/n)^n=e$
2. E' una successione di razionali che converge agli irrazionali.
3. E' strettamente crescente.
4. E' superiormente limitata.
5. E' convergente ad un limite compreso tra $2$ e $3$
6.$e$ è un numero irrazionale
7. E' usato per le funzioni esponenziali e logaritmiche
8. Il $log$ in base $e$ si chiama logaritmo neperiano o naturale $ln$.
9. Il $log$ in base $10$ (logaritmo decimale) si scrive solo $Log$.
Vanno bene, o ci sono altre particolarità da aggiungere?
$a_n=(1+1/n)^n$
1. $lim_(n->+oo)(1+1/n)^n=e$
2. E' una successione di razionali che converge agli irrazionali.
3. E' strettamente crescente.
4. E' superiormente limitata.
5. E' convergente ad un limite compreso tra $2$ e $3$
6.$e$ è un numero irrazionale
7. E' usato per le funzioni esponenziali e logaritmiche
8. Il $log$ in base $e$ si chiama logaritmo neperiano o naturale $ln$.
9. Il $log$ in base $10$ (logaritmo decimale) si scrive solo $Log$.
Vanno bene, o ci sono altre particolarità da aggiungere?
Risposte
ma per cosa devi farlo, è tipo un compito per scuola?
comunque secondo me:
il punto 9 non c'entra niente.
il 7 è un po' un'informazione sterile, c'è già il punto 8 che ne parla.
il 4 è superfluo, se converge ovvio che è limitata.
i punti 3,5,6 poi secondo me potrebbero essere condensati più elegantemente in un punto solo.
il 2 lo riformulerei un po', converge ad un irrazionale solo, e poi già che ci siamo aggiungerei che $e$ non è soltanto irrazionale, come $sqrt(2)$,
ha anche la proprietà di essere trascendente.
comunque secondo me:
il punto 9 non c'entra niente.
il 7 è un po' un'informazione sterile, c'è già il punto 8 che ne parla.
il 4 è superfluo, se converge ovvio che è limitata.
i punti 3,5,6 poi secondo me potrebbero essere condensati più elegantemente in un punto solo.
il 2 lo riformulerei un po', converge ad un irrazionale solo, e poi già che ci siamo aggiungerei che $e$ non è soltanto irrazionale, come $sqrt(2)$,
ha anche la proprietà di essere trascendente.
Si, è una domanda di teoria che dovrei formularla per una risposta all'esame orale.
Ho scritto questa 'lista' di informazioni (che mi hai detto che alcune sono sterile e\o superflue) dagli appunti e dal libro.
Cosa buona che non ho scritto baggianate xD.
Tu mi dici:
i punti 3,5,6 poi secondo me potrebbero essere condensati più elegantemente in un punto solo.
Come potrei farlo? Cioè se mi trovassi all'esame orale, come potrei esporli? Perchè a capire ho capito, ma l'esposizione, come dici giustamente tu, deve essere più elegante.
Dici anche:
ha anche la proprietà di essere trascendente.
Questa proprietà mi era sfuggita, perchè è trascendente?
Ho scritto questa 'lista' di informazioni (che mi hai detto che alcune sono sterile e\o superflue) dagli appunti e dal libro.
Cosa buona che non ho scritto baggianate xD.
Tu mi dici:
i punti 3,5,6 poi secondo me potrebbero essere condensati più elegantemente in un punto solo.
Come potrei farlo? Cioè se mi trovassi all'esame orale, come potrei esporli? Perchè a capire ho capito, ma l'esposizione, come dici giustamente tu, deve essere più elegante.
Dici anche:
ha anche la proprietà di essere trascendente.
Questa proprietà mi era sfuggita, perchè è trascendente?
"clever":
Questa proprietà mi era sfuggita, perchè è trascendente?
non è il caso che tu sappia dimostrarlo, prova a dare un'occhiata qui http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazi ... denza_di_ema sai cosa vuol dire trascendente vero?
se è per un orale, la cosa è diversa, quella è una lista che fai per te, e come poi la esponi dipende solo da te.
come informazioni scritte, io direi che $e$ è definito, cosa importante che non hai detto, come il limite per $n to infty$ della successione $(1+1/n)^n$
successione che converge (ovviamente, se no $e$ sarebbe $+ infty$, non sarebbe molto interessante).
poi puoi descrivere tale successione, che è una successione di valori in $QQ$, prprietà interessante, e poi come dici tu è crescente, ma attenzione, lo è solo se $n to +infty$, mentre se $n to -infty$, allora il limite è sempre $e$, però la successione è decrescente. poi se vuoi descrivere $e$, dici che vale circa $2,71828...$, che è usato per le funzioni logaritmiche e esponenziali perchè ha belle proprietà (tipo ??), e che è irrazionale e anche trascendente, come detto
e direi che è abbastanza
come informazioni scritte, io direi che e è definito, cosa importante che non hai detto, come il limite per $n->+oo$
Si l'ho scritto nel punto $1$.
Lo schema era per avere 'fissati' i punti da argomentare.
Trascendente, vado subito a vedere cosa è, ricordo il nome ma non la funzionalità.
è usato per le funzioni logaritmiche e esponenziali perchè ha belle proprietà (tipo ??)
Bhè, se proprio mi fa quella domanda, io mi 'allargherei' con il parlare dei due argometi: funzioni esponenziali
$f(x)=a^x$
in questo caso
$f(x)=e^x$ ovvero $a>1$ dove $e=2,71...$
e proprio per $a>1$ è una funzione strettamente crescente.
funzione logaritmo.
è l'inversa della funzione esponenziale.
una proprietà che mi viene in mente è che $lne=1$ dove $ln$ ha per base proprio $e$.
oppure $ln(x/y)=lnx-lny$.
La finalità di questo 'esercizio' è per me, schematizzarmi e tenere tutto chiaro per dare una esposizione chiara, precisa in pochi minuti.
Che ne dici ora?
Si l'ho scritto nel punto $1$.
Lo schema era per avere 'fissati' i punti da argomentare.
Trascendente, vado subito a vedere cosa è, ricordo il nome ma non la funzionalità.
è usato per le funzioni logaritmiche e esponenziali perchè ha belle proprietà (tipo ??)
Bhè, se proprio mi fa quella domanda, io mi 'allargherei' con il parlare dei due argometi: funzioni esponenziali
$f(x)=a^x$
in questo caso
$f(x)=e^x$ ovvero $a>1$ dove $e=2,71...$
e proprio per $a>1$ è una funzione strettamente crescente.
funzione logaritmo.
è l'inversa della funzione esponenziale.
una proprietà che mi viene in mente è che $lne=1$ dove $ln$ ha per base proprio $e$.
oppure $ln(x/y)=lnx-lny$.
La finalità di questo 'esercizio' è per me, schematizzarmi e tenere tutto chiaro per dare una esposizione chiara, precisa in pochi minuti.
Che ne dici ora?
ho visto che l'hai scritto nel punto 1, ma io volevo sottolineare il fatto che $e$ viene così definito, avevo proprio sottolineato la parola definito per quello.
poi il mio parere personale (che ti ho già detto una volta commentando un esercizio) è che tu non centri il punto delle domande, e cerchi di mostrare che sai mote cose, e in effetti le sai, però non richieste, e secondo me questa cosa non va per nulla bene.
se la domanda è: parla delle proprietà particolari di $e$ nelle funzioni esponenziale e logaritmica, non devi metteri a parlare delle proprietà findamentali, di $a$ compreso fra $0$ e $1$ e di $a$ maggiore di 1 o riprendere addirittura la definizione di logaritmo.
nessuno lo ha chiesto! e poi finisce, come in questo caso, che alla domanda non hai minimamente risposto.
quali sono le belle proprietà di $e$ ? sono legate alle derivate di $e^x$ e di $lnx$, ti viene in mente?
poi il mio parere personale (che ti ho già detto una volta commentando un esercizio) è che tu non centri il punto delle domande, e cerchi di mostrare che sai mote cose, e in effetti le sai, però non richieste, e secondo me questa cosa non va per nulla bene.
se la domanda è: parla delle proprietà particolari di $e$ nelle funzioni esponenziale e logaritmica, non devi metteri a parlare delle proprietà findamentali, di $a$ compreso fra $0$ e $1$ e di $a$ maggiore di 1 o riprendere addirittura la definizione di logaritmo.
nessuno lo ha chiesto! e poi finisce, come in questo caso, che alla domanda non hai minimamente risposto.
quali sono le belle proprietà di $e$ ? sono legate alle derivate di $e^x$ e di $lnx$, ti viene in mente?
$f(x)=e^x$ $f'(x)=e^x$
$f(x)=lnx$ $f'(x)=1/x$
non so dire altro...
$f(x)=lnx$ $f'(x)=1/x$
non so dire altro...
in realtà sarebbe $D(a^x)=a^x * lna$
ma con $e$ si ha ovviamente che $ln e =1$ e simile per il logaritmo, questo è il vantaggio d lavorare con $e$ !
che poi ovviamente non è un caso che compaiano proprio i logaritmi naturali nelle derivate, tutto torna all'importanza di $e$
ma con $e$ si ha ovviamente che $ln e =1$ e simile per il logaritmo, questo è il vantaggio d lavorare con $e$ !
che poi ovviamente non è un caso che compaiano proprio i logaritmi naturali nelle derivate, tutto torna all'importanza di $e$
Chiarissimo, ora devo riscrivermi il tutto in maniera più semplice per me, aggiungendo questo che mi hai detto tu, come esempio da riportare all'orale.
Grazie.
Grazie.
prego, quando vuoi!
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