Il logaritmo naturale conserva il massimo

[TS778LB]

Visto che il logaritmo naturale è (essendo la base, e, maggiore di uno) una
funzione monotona strettamente crescente dell’argomento, trovare il massimo di $ ln[f(x)] $ condurrebbe ancora a tutti e soli i valori che rendono massima $ f(x) $.
Qualcuno può spiegarmi perchè?
Grazie!

[fulcanelli]

E' una doppia implicazione: i massimi di f sono i massimi di \(\log f\) (più in generale, se \(q\) è monotona, i massimi di \(f\) sono i massimi di \(q\circ f\); il viceversa vale a volte, come in questo caso).

"Essere il massimo" (diciamo, globale) di $f$ significa essere un elemento \(x\in D(f)\) tale che per ogni \(a\in D(f)\) (il domino di $f$), \(f(a)\le f(x)\); siccome \(\log \) è monotona, ora, questa disuguaglianza viene verificata; del resto, \(\log \) è anche biiettiva (e la sua inversa, l'esponenziale, è pure lei monotona), quindi vale il viceversa: se \(\log u \le \log v\), allora \(u\le v\).

[gugo82]

Ovviamente, bisogna specificare che tutto avviene limitatamente all'eventuale parte del dominio di $f$ in cui risulta $f(x) > 0$, altrimenti la composizione di funzioni non... Funziona.