Il limite di premisure è una premisura
Mi scuso se sto tartassando il forum con le mie bazzecole di (pre)measure theory, ma non riesco a smettere 
Questa volta l'esercizio è il seguente:
Quello che devo fare è sostanzialmente provare l'additività numerabile di \(\mu\), che è banalmente finitamente additiva (basta sfruttare l'additività finita delle \(\mu_i\)).
Sia pertanto \((A_{i})_{i \in \mathbb{N}}\) un successione di insiemi (non necessariamente disgiunti) di \(\mathcal{A}\); siccome \(\mu(A) \ge 0 \ \forall A \in \mathcal{A}\), ho distinto due casi:
1. \[\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) = \infty\]
2. \[\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) < \infty\]
Caso 1: siccome \(\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)\) diverge si ha che \(\forall \, M \in \mathbb{R} \, \exists \, \bar{n} \in \mathbb{N} \) t.c. \(\forall \, n > \bar{n}\) \[\sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) = \mu \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) > M \]il che implica direttamente la divergenza di \(\mu \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right)\) per \(n \to \infty\). Ne segue che \[\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) = \mu \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right)=\infty \]
Caso 2: qui ho penato parecchio. Per la \(\sigma\)-subadditività e le ipotesi fatte su \(\mu_n\) si ha \(\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) < \infty \ \forall \, n \); inoltre sarà \[\mu \left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) =\sup_{n} \left \{\mu_n \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \, : \, n \in \mathbb{N} \right \} \le \sup_{n} \left \{\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \, : \, n \in \mathbb{N} \right \} \] Osservo quindi che \(\sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i)\) è un maggiorante dell'insieme \(\{\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \, : \, n \in \mathbb{N} \} \), e che per le proprietà dell'estremo superiore sarà infine \[ \sup_{n} \left \{\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \, : \, n \in \mathbb{N} \right \} \le \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) \] donde \[\mu \left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) \]e cioè \(\mu\) è \(\sigma\)-subadditiva, proprietà che equivale alla \(\sigma\)-additività.
Che ve ne pare?
Ringrazio.
Edit. Sistemato un errore.
Questa volta l'esercizio è il seguente:
Assume that \(\mu_0 \le \mu_1 \le \dots \) is an increasing sequence of premeasures on an algebra \(\mathcal{A}\). Prove that then \(\mu(A)=\lim_{n \to \infty} \mu_n (A) = \sup \{ \mu_n (A) \ : \ n \in \mathbb{N}\} \) defines a premeasure \(\mu\) on \(\mathcal{A}\).
Quello che devo fare è sostanzialmente provare l'additività numerabile di \(\mu\), che è banalmente finitamente additiva (basta sfruttare l'additività finita delle \(\mu_i\)).
Sia pertanto \((A_{i})_{i \in \mathbb{N}}\) un successione di insiemi (non necessariamente disgiunti) di \(\mathcal{A}\); siccome \(\mu(A) \ge 0 \ \forall A \in \mathcal{A}\), ho distinto due casi:
1. \[\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) = \infty\]
2. \[\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) < \infty\]
Caso 1: siccome \(\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)\) diverge si ha che \(\forall \, M \in \mathbb{R} \, \exists \, \bar{n} \in \mathbb{N} \) t.c. \(\forall \, n > \bar{n}\) \[\sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) = \mu \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) > M \]il che implica direttamente la divergenza di \(\mu \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right)\) per \(n \to \infty\). Ne segue che \[\sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) = \mu \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right)=\infty \]
Caso 2: qui ho penato parecchio. Per la \(\sigma\)-subadditività e le ipotesi fatte su \(\mu_n\) si ha \(\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) < \infty \ \forall \, n \); inoltre sarà \[\mu \left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) =\sup_{n} \left \{\mu_n \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \, : \, n \in \mathbb{N} \right \} \le \sup_{n} \left \{\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \, : \, n \in \mathbb{N} \right \} \] Osservo quindi che \(\sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i)\) è un maggiorante dell'insieme \(\{\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \, : \, n \in \mathbb{N} \} \), e che per le proprietà dell'estremo superiore sarà infine \[ \sup_{n} \left \{\sum_{i=1}^{\infty} \mu_n (A_i) \, : \, n \in \mathbb{N} \right \} \le \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) \] donde \[\mu \left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{\infty} \mu (A_i) \]e cioè \(\mu\) è \(\sigma\)-subadditiva, proprietà che equivale alla \(\sigma\)-additività.
Che ve ne pare?
Ringrazio.
Edit. Sistemato un errore.
Risposte
Mi sembra corretto. Forse avrei compattato un po' la dimostrazione; se \((A_j)\) è una successione di insiemi, allora
\[
\mu_n \left(\bigcup_j A_j\right) \leq \sum_j \mu_n(A_j) \leq \sum_j \mu(A_j)
\]
da cui, passando al sup in \(n\),
\[
\mu\left(\bigcup_j A_j\right) \leq \sum_j \mu(A_j).
\]
\[
\mu_n \left(\bigcup_j A_j\right) \leq \sum_j \mu_n(A_j) \leq \sum_j \mu(A_j)
\]
da cui, passando al sup in \(n\),
\[
\mu\left(\bigcup_j A_j\right) \leq \sum_j \mu(A_j).
\]
Grazie Rigel. Più tardi ragiono anche sulle risposte nell'altro thread.
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