Il laplaciano della norma 2

[amivaleo]

ciao a tutti.
vorrei proporvi un esercizietto abbastanza semplice ma sul quale ho un dubbio nell'ultimo passaggio:
calcolare il laplaciano della norma euclidea di $x \in R^N$, con $N$ finito: $\Delta |x|$

so che:
$\Delta = \sum_j^N \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$
$|x| = (\sum_i^N x_i^2)^\frac{1}{2}$

se fisso quindi un $j$:
$\Delta |x| \to \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} (\sum_i^N x_i^2)^\frac{1}{2}$
$=\frac{\partial}{\partial x_j} (\frac{\partial}{\partial x_j} (\sum_i^N x_i^2)^\frac{1}{2}) = \frac{\partial}{\partial x_j} (\frac{1}{2} (\sum_i^N x_i^2)^-\frac{1}{2} 2x_j) = (\sum_i^N x_i^2)^-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} (\sum_i^N x_i^2)^-\frac{3}{2} 2x_j^2 $
$= \frac{1}{|x|} - \frac{x_j^2}{|x|^3} = \frac{|x|^2 - x_j^2}{|x|^3}$

ora il dubbio è in questo ultimo passaggio. poichè devo sommare $N$ termini di questo tipo (dato che $j$ corre da $1$ a $N$), devo scrivere:
$= \sum_j^N \frac{|x|^2 - x_j^2}{|x|^3} = \frac{N|x|^2 - |x|^2}{|x|^3} = \frac{N-1}{|x|}$
o la somma colpisce solo il $x_j^2$?
$= \frac{|x|^2 - \sum_j^N x_j^2}{|x|^3} = 0$

in analogia col caso $N=1$, mi aspetterei $0$ dal calcolo del laplaciano di $|x|$, ma la somma su $j$ ritengo che debba sommare tutto il risultato del calcolo che faccio prima

mi aiutate a capire?

[gygabyte017]

Prova a fare per $N=2$
[tex]|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}[/tex]
[tex]\Delta |x| = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} \sqrt{x_1^2 + x_2^2}+ \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} \sqrt{x_1^2 + x_2^2} =
\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{2 x_1}{2 \sqrt{x_1^2 + x_2^2}} +
\frac{\partial}{\partial x_2} \frac{2 x_2}{2 \sqrt{x_1^2 + x_2^2}} =[/tex][tex]\frac {\sqrt{x_1^2 + x_2^2} - x_1 \frac{2 x_1}{2 \sqrt{x_1^2 + x_2^2}}} {x_1^2 + x_2^2} +
\frac {\sqrt{x_1^2 + x_2^2} - x_2 \frac{2 x_2}{2 \sqrt{x_1^2 + x_2^2}}} {x_1^2 + x_2^2} =[/tex][tex]\frac{ \frac {x_2^2} {\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} } {x_1^2 + x_2^2} +
\frac{ \frac {x_1^2} {\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} } {x_1^2 + x_2^2} = \frac 1 {|x|}[/tex]
che combacia con la tua formula (e anche il caso $N=1$ da te citato combacia con la tua formula generale). Non ho controllato i tuoi calcoli nel dettaglio ma mi sembrano corretti, e comunque sì la sommatoria è estesa a tutti i termini!

[amivaleo]

mannaggia, cado ancora nel tranello di farmi esempi nel caso monodimensionale ($N=1$) che spesso non si estende mai con naturalezza alle funzioni di più variabili

grazie per il chiarimento
almeno posso consolarmi sostenendo che... beh, il dubbio mi era venuto ^^