Il differenziale, questo sconosciuto
Ciao a tutti ragazzi,
mi piacerebbe avere qualche chiarimento su ciò che si intende per differenziale e in quali accezioni questo termine viene usato: in Analisi I,Analisi II e Fisica I ne ho sentite di tutti i colori.
Allora iniziamo da Analisi I:
1)Per la definizione del differenziale di una funzione in un punto si parte dal concetto di derivata di una funzione in un punto:
$f'(a)=lim_(h->0)(f(a+h)-f(a))/h$ quindi $f'(a)*h\sim_(h->0)f(a+h)-f(a)$ ovvero $f(a+h)-f(a)=f'(a)*h+alpha(h)$.
Viene così definito il differenziale di una funzione in un punto come funzione:
$df(a):RR->RR,h->f'(a)*h$
Quindi il differenziale di una funzione in un punto è una funzione che approssima l'incremento di una funzione in un punto ($f(a+h)-f(a)$),approssimazione valida per $h$ piccoli ($alpha(h)\sim_(h->0)o(h)$).
Ora continuiamo con Analisi II:
2)Ricordiamo che una funzione $f:RR^N->RR^M$ è differenziabile in un punto se esiste $T:RR^N->RR^M$ trasformazione lineare tale che $lim_(h->0)(f(\vec a + \vec h) -f(\vec a)-T(\vec h))/||\vec h||=0$
$T$ viene chiamata derivata di $f$ in $\vec a$, per funzioni scalari invece viene chiamata differenziale di $f$ in $\vec a$ e viene indicato con $df(\vec a)$.
Questa definizione mi sembra ragionevole in quanto posso scrivere $f(\vec a + \vec h) -f(\vec a)-df(\ vec a)(\vec h)=alpha(\vec h)$ e quindi $f(\vec a + \vec h) -f(\vec a) = df(\ vec a)(\vec h) + alpha(\vec h)$ che non è altro che l'estensione a più variabili della definizione in Analisi I.
Qualche considerazione: in Analisi I la derivata di una funzione in un punto è un numero reale mentre il differenziale di una funzione in un punto era una funzione; in Analisi II sia la derivata che il differenziale di una funzione in un punto diventano trasformazioni lineari. Il differenziale di una funzione in un punto applicato ad un versore invece è un numero reale coincidente alla derivata direzionale della funzione calcolata nel punto secondo la direzione indicata dal versore.
Domanda:il differenziale di una funzione in un punto applicato ad un vettore (e non a un versore) cosa rappresenta?
Si dimostra quindi che il differenziale essendo una trasformazione lineare ha diritto a una matrice associata in modo che $df(\vec a)(\vec h)=A*\vec h$, questa $A$ non è altro che la matrice jacobiana (per la derivata) e il gradiente (per il differenziale).
Quindi $df(\vec a)(\vec h)=\vec gradf(\vec a)*\vec h = <\vec gradf(\vec a),\vec h>$.
$df(\vec a):RR^N->R,\vec h -> <\vec gradf(\vec a),\vec h>$.
3) Nella teoria delle forme differenziali lineari viene definito anche il differenziale di una funzione come: $df:RR^N->L(RR^N,R),\vec x->df(\ vecx)$
cioè una funzione che ad ogni vettore associa la trasformazione lineare differenziale calcolato nel punto (vettore) considerato.
Visto che questa scrittura è piuttosto pesante si fa un procedimento simile per ottenere la così detta forma canonica:
sia $p_i:RR^N->R,\vec h->h_i$ la i-esima proiezione di $\vec h$ sul versore $\vec e_i$.
e $dx_i:RR^N->L(RR^N;R),\vec x->p_i$
Allora $df(\ vecx)=sum_(i=1)^N(\partialf(\vec x))/(\partialx_i)*p_i=sum_(i=1)^N(\partialf(\vec x))/(\partialx_i)*dx_i$.
Qualche considerazione: Ogni forma differenziale lineare ha diritto ad avere un campo di vettori, ovvero una funzione $F:RR^N->RR^N$ tale che $omega = sum_(i=1)^N F_i*dx_i$. Il campo di vettori associato al differenziale è il gradiente di f.
Inoltre una forma differenziale può essere chiusa se $AA(i,j)=1,2,...N|i!=j$ $ D_iF_j=D_jF_i$, o anche esatta se esiste una funzione scalare $U:RR^N->R$ tale che $dU=omega$.
Infine si arriva alla fatidica Fisica I:
Ogni cosa che si trova scritta come $ds$ o $dt$ o con la $d$ davanti viene chiamata differenziale. Oppure "infinitesimo".
Ad esempio se devo fare un qualsiasi integrale es: $int_(a)^bf(x)dx$ . "$dx$" viene chiamato "differenziale esatto" e non capisco cosa centri con tutto il resto.
In analisi I quel "$dx$" dentro l'integrale rappresentava unicamente un' informazione che indicava rispetto a quale variabile si dovesse integrare la funzione e nient'altro (credo).
Ringrazio chi ha avuto la pazienza di leggere fino infondo e vi pregherei di segnalarmi eventuali errori (visto che gli esami si avvicinano
).
Grazie per qualsiasi chiarimento
mi piacerebbe avere qualche chiarimento su ciò che si intende per differenziale e in quali accezioni questo termine viene usato: in Analisi I,Analisi II e Fisica I ne ho sentite di tutti i colori.
Allora iniziamo da Analisi I:
1)Per la definizione del differenziale di una funzione in un punto si parte dal concetto di derivata di una funzione in un punto:
$f'(a)=lim_(h->0)(f(a+h)-f(a))/h$ quindi $f'(a)*h\sim_(h->0)f(a+h)-f(a)$ ovvero $f(a+h)-f(a)=f'(a)*h+alpha(h)$.
Viene così definito il differenziale di una funzione in un punto come funzione:
$df(a):RR->RR,h->f'(a)*h$
Quindi il differenziale di una funzione in un punto è una funzione che approssima l'incremento di una funzione in un punto ($f(a+h)-f(a)$),approssimazione valida per $h$ piccoli ($alpha(h)\sim_(h->0)o(h)$).
Ora continuiamo con Analisi II:
2)Ricordiamo che una funzione $f:RR^N->RR^M$ è differenziabile in un punto se esiste $T:RR^N->RR^M$ trasformazione lineare tale che $lim_(h->0)(f(\vec a + \vec h) -f(\vec a)-T(\vec h))/||\vec h||=0$
$T$ viene chiamata derivata di $f$ in $\vec a$, per funzioni scalari invece viene chiamata differenziale di $f$ in $\vec a$ e viene indicato con $df(\vec a)$.
Questa definizione mi sembra ragionevole in quanto posso scrivere $f(\vec a + \vec h) -f(\vec a)-df(\ vec a)(\vec h)=alpha(\vec h)$ e quindi $f(\vec a + \vec h) -f(\vec a) = df(\ vec a)(\vec h) + alpha(\vec h)$ che non è altro che l'estensione a più variabili della definizione in Analisi I.
Qualche considerazione: in Analisi I la derivata di una funzione in un punto è un numero reale mentre il differenziale di una funzione in un punto era una funzione; in Analisi II sia la derivata che il differenziale di una funzione in un punto diventano trasformazioni lineari. Il differenziale di una funzione in un punto applicato ad un versore invece è un numero reale coincidente alla derivata direzionale della funzione calcolata nel punto secondo la direzione indicata dal versore.
Domanda:il differenziale di una funzione in un punto applicato ad un vettore (e non a un versore) cosa rappresenta?
Si dimostra quindi che il differenziale essendo una trasformazione lineare ha diritto a una matrice associata in modo che $df(\vec a)(\vec h)=A*\vec h$, questa $A$ non è altro che la matrice jacobiana (per la derivata) e il gradiente (per il differenziale).
Quindi $df(\vec a)(\vec h)=\vec gradf(\vec a)*\vec h = <\vec gradf(\vec a),\vec h>$.
$df(\vec a):RR^N->R,\vec h -> <\vec gradf(\vec a),\vec h>$.
3) Nella teoria delle forme differenziali lineari viene definito anche il differenziale di una funzione come: $df:RR^N->L(RR^N,R),\vec x->df(\ vecx)$
cioè una funzione che ad ogni vettore associa la trasformazione lineare differenziale calcolato nel punto (vettore) considerato.
Visto che questa scrittura è piuttosto pesante si fa un procedimento simile per ottenere la così detta forma canonica:
sia $p_i:RR^N->R,\vec h->h_i$ la i-esima proiezione di $\vec h$ sul versore $\vec e_i$.
e $dx_i:RR^N->L(RR^N;R),\vec x->p_i$
Allora $df(\ vecx)=sum_(i=1)^N(\partialf(\vec x))/(\partialx_i)*p_i=sum_(i=1)^N(\partialf(\vec x))/(\partialx_i)*dx_i$.
Qualche considerazione: Ogni forma differenziale lineare ha diritto ad avere un campo di vettori, ovvero una funzione $F:RR^N->RR^N$ tale che $omega = sum_(i=1)^N F_i*dx_i$. Il campo di vettori associato al differenziale è il gradiente di f.
Inoltre una forma differenziale può essere chiusa se $AA(i,j)=1,2,...N|i!=j$ $ D_iF_j=D_jF_i$, o anche esatta se esiste una funzione scalare $U:RR^N->R$ tale che $dU=omega$.
Infine si arriva alla fatidica Fisica I:
Ogni cosa che si trova scritta come $ds$ o $dt$ o con la $d$ davanti viene chiamata differenziale. Oppure "infinitesimo".
Ad esempio se devo fare un qualsiasi integrale es: $int_(a)^bf(x)dx$ . "$dx$" viene chiamato "differenziale esatto" e non capisco cosa centri con tutto il resto.
In analisi I quel "$dx$" dentro l'integrale rappresentava unicamente un' informazione che indicava rispetto a quale variabile si dovesse integrare la funzione e nient'altro (credo).
Ringrazio chi ha avuto la pazienza di leggere fino infondo e vi pregherei di segnalarmi eventuali errori (visto che gli esami si avvicinano
).Grazie per qualsiasi chiarimento
Risposte
Proprio così, ogni branca diversa della matematica e della fisica si porta appresso le sue definizioni e la sua terminologia. Riuscire a trovare un proprio equilibrio è un lavoro lungo ma che si fa da solo, con l'esperienza.
Più o meno le nozioni di cui parli vengono da vecchie concezioni della matematica che ancora sopravvivono in fisica, come gli "infinitesimi". Gli strumenti moderni mettono a posto le cose dal punto di vista formale ma le idee a cui fanno riferimento sono sempre quelle: per esempio, il differenziale visto come operatore lineare in analisi " è " l' " incremento infinitesimo " della funzione nel senso che è un formalismo che permette di catturare correttamente questa idea intuitiva.
Comunque: se si applica il differenziale ad un vettore che non è un versore, si ottiene semplicemente un riscalamento dell'incremento lungo la direzione del versore:
\[df(x)\mathbf{v}=df(x)\lvert \mathbf{v}\lvert \frac{\mathbf{v}}{\lvert \mathbf{v}\rvert}=\lvert \mathbf{v}\rvert df(x)\frac{\mathbf{v}}{\lvert \mathbf{v}\rvert},\]
niente di più di questo. Fisicamente, se vuoi, questo può corrispondere a prendere incrementi con diverse unità di misura, per cui il fattore di conversione moltiplica il risultato finale. Matematicamente, questo fatto è una scelta obbligata se vogliamo che \(df(x)\) sia una applicazione lineare.
Sul perché i fisici parlino di "differenziale esatto", non ti fare troppe paranoie. Come hai capito anche tu loro usano un misto di linguaggio moderno e linguaggio classico, poco rigoroso ma talvolta molto efficace, e spesso e volentieri pasticciano coi termini e non sono d'accordo l'uno con l'altro, ma non se ne curano.
La logica dietro il chiamare "differenziale esatto" il \(dx\) dell'integrale su un segmento sarà questa, immagino: siccome \(dx= d(x)\), il differenziale della funzione \(x\), allora \(dx\) è il differenziale di una funzione è quindi è una forma differenziale esatta. Io preferirei parlare di "elemento di lunghezza", mi pare che dia una immagine intuitiva più vivida. Anche su libri di fisica ho trovato questa notazione.
Più o meno le nozioni di cui parli vengono da vecchie concezioni della matematica che ancora sopravvivono in fisica, come gli "infinitesimi". Gli strumenti moderni mettono a posto le cose dal punto di vista formale ma le idee a cui fanno riferimento sono sempre quelle: per esempio, il differenziale visto come operatore lineare in analisi " è " l' " incremento infinitesimo " della funzione nel senso che è un formalismo che permette di catturare correttamente questa idea intuitiva.
Comunque: se si applica il differenziale ad un vettore che non è un versore, si ottiene semplicemente un riscalamento dell'incremento lungo la direzione del versore:
\[df(x)\mathbf{v}=df(x)\lvert \mathbf{v}\lvert \frac{\mathbf{v}}{\lvert \mathbf{v}\rvert}=\lvert \mathbf{v}\rvert df(x)\frac{\mathbf{v}}{\lvert \mathbf{v}\rvert},\]
niente di più di questo. Fisicamente, se vuoi, questo può corrispondere a prendere incrementi con diverse unità di misura, per cui il fattore di conversione moltiplica il risultato finale. Matematicamente, questo fatto è una scelta obbligata se vogliamo che \(df(x)\) sia una applicazione lineare.
Sul perché i fisici parlino di "differenziale esatto", non ti fare troppe paranoie. Come hai capito anche tu loro usano un misto di linguaggio moderno e linguaggio classico, poco rigoroso ma talvolta molto efficace, e spesso e volentieri pasticciano coi termini e non sono d'accordo l'uno con l'altro, ma non se ne curano.
La logica dietro il chiamare "differenziale esatto" il \(dx\) dell'integrale su un segmento sarà questa, immagino: siccome \(dx= d(x)\), il differenziale della funzione \(x\), allora \(dx\) è il differenziale di una funzione è quindi è una forma differenziale esatta. Io preferirei parlare di "elemento di lunghezza", mi pare che dia una immagine intuitiva più vivida. Anche su libri di fisica ho trovato questa notazione.
"lordb":
Ciao a tutti ragazzi,
mi piacerebbe avere qualche chiarimento su ciò che si intende per differenziale e in quali accezioni questo termine viene usato: in Analisi I,Analisi II e Fisica I ne ho sentite di tutti i colori.
Per completezza, è chiamato differenziale anche un dispositivo meccanico comunemente utilizzato sulle autovetture:
http://it.wikipedia.org/wiki/Differenzi ... ccanica%29
Grazie mille ragazzi!!
@dissonance: grazie, è piuttosto faticoso trovare un equilibrio personale tra le diverse discipline Algebra-Geometria-Analisi-Fisica...,ma spero che con il tempo e un po' di impegno sarà possibile!
@lisdap: infatti mi sembrava di averlo "sentito dire" tempo fa quando studiavo per la patente
@dissonance: grazie, è piuttosto faticoso trovare un equilibrio personale tra le diverse discipline Algebra-Geometria-Analisi-Fisica...,ma spero che con il tempo e un po' di impegno sarà possibile!
@lisdap: infatti mi sembrava di averlo "sentito dire" tempo fa quando studiavo per la patente
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