Il differenziale di Gateaux della norma \( \ell^1 \)

[Paolo902]

Prendiamo \( \ell^1 \) con la solita norma e consideriamo la funzione \(f \colon \ell^1 \to \mathbb R\) data da
\[
\ell^1 \ni x \mapsto \Vert x \Vert.
\]
Claim. $f$ ha differenziale (secondo Gateaux) in $x$ sse $x_i \ne 0$ per ogni $i \in \NN$. Inoltre, in tal caso il differenziale è dato da \(x^{\star} = (x^{\star}_{n})\), dove \(x^{\star}_n = \frac{x_n}{\vert x_n \vert} := \text{sgn}(x_n)\).
Una parte è facile: se c'è una componente nulla, allora prendo come direzione $e_i$ e il limite
\[
\lim_t \frac{\Vert x+te_i \Vert - \Vert x \Vert}{t} = \lim_t \frac{\vert t \vert}{t}
\]
non esiste, ergo $f$ non può essere G-diff in x. How about the viceversa?
Un hint mi suggerisce di scegliere, fissato $\varepsilon>0$, un $N>0$ tale che \(\sum_{i > N} \vert d_i \vert <\varepsilon \), dove $d=(d_i)_i$ è la direzione lungo cui derivo; allora per $t$ sufficientemente piccoli si ha
\[
\text{sgn}(x_i+td_i) = \text{sgn}(x_i)
\]
da cui
\[
\left\vert \frac{\Vert x+td \Vert - \Vert x \Vert}{t} - \sum_i d_i \text{sgn}(x_i) \right\vert < 2\varepsilon
\]
La domanda che vi pongo è: da dove esce l'ultima riga? Io ho fatto un po' di conticini, sfruttando il fatto che \( \vert x_i \vert = x_i\text{sgn}(x_i)\). Salvo errori ho ottenuto che
\[
\left\vert \frac{\Vert x+td \Vert - \Vert x \Vert}{t} - \sum_i d_i \text{sgn}(x_i) \right\vert = \\
= \left\vert \frac{1}{t}\sum_{i>N} x_i[\text{sgn}(x_i+td_i)-\text{sgn}(x_i)] + \sum_{i>N} d_i[\text{sgn}(x_i+td_i)-\text{sgn}(x_i)] \right\vert
\]
Qualche idea su come maggiorare, per piacere? Dove mi perdo?
Grazie.

[Rigel1]

L'ultima riga si può scrivere come
\[
R := \left|\sum_{i>N} \frac{x_i+td_i}{t} \left(\text{sign}(x_i+t d_i) - \text{sign} x_i\right)\right|.
\]
Chiaramente la sommatoria può essere ristretta all'insieme \(S_N\) di indici \(i>N\) tali che
\[
\text{sign}(x_i+t d_i) \neq \text{sign} x_i.
\]
Ma questa condizioni equivale a richiedere che \(|x_i| < |t d_i|\). Di conseguenza
\[
R \leq 2 \sum_{i\in S_N} \frac{|x_i| + |t d_i|}{|t|} \leq 4 \sum_{i\in S_N} |d_i| < 4\epsilon.
\]

[Paolo902]

Che bello rileggerti, Rigel. Non potevi essere più chiaro di così; grazie mille, come sempre.