Il controesempio di Tychonoff del calore

[Paolo902]

Considerate il problema di Cauchy per l'equazione del calore omogenea
\[
\begin{cases}
u_t - \Delta u = 0 \qquad (t,x) \in (0,+\infty) \times \mathbb{R}^{n} \\
u(0,x)=u_0(x), \qquad x \in \mathbb R^{n}
\end{cases}
\]

con $u_0: \mathbb{R}^{n} \to \RR$ data. A lezione, ho studiato il noto teorema che afferma che sotto alcune condizioni sul dato iniziale ($u_0$ limitata e localmente Riemann integrabile) allora esiste una soluzione che si può trovare sfruttando il nucleo del calore $\phi$
\[
u(t,x) = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi(t,y-x)u_0(y)dy, \quad \forall t>0, \, \forall x \in \mathbb{R}^{n}
\]
(è un prodotto di convoluzione, no?).

Il mio professore ha osservato che questo è un teorema di esistenza e nulla dice sull'unicità. Anzi, esiste un celebre (?) controesempio di Tychonoff che mostra l'assenza di unicità nel caso $u_0 \equiv 0$.

In tal caso, infatti, c'è senz'altro la soluzione nulla; tuttavia anche la funzione
\[
\mathfrak{T}(t,x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^{(k)}(t)}{(2k)!}x^{2k}
\]
dove
\[
h(t) =
\begin{cases}
\exp{[-t^{-2}]}, \qquad t \in (0,+\infty) \\
0, \qquad t \in (-\infty, 0]
\end{cases}
\]
è soluzione.

Questions.
1) Vi risulta questa cosa? Ne avete già sentito parlare? Io ho faticato un po' per trovarlo, ma alla fine l'ho trovato sul libro di Salsa, Equazioni a derivate parziali.
2) Avete idea di come abbia fatto Tychonoff a trovarla? Insomma, non penso che si sia svagliato una mattina e abbia inventato quella schifezza ... c'è qualcosa sotto?
3) Avete idea di come si può verificare che quella funzione lì è soluzione? Salsa dice che è difficile e rimanda a una fonte che non ho e, purtroppo, non ho modo di reperire...

Grazie in anticipo.

[dissonance]

Su Evans questa cosa è spiegata bene (o meglio, accennata bene!). Vedi pag.59 della seconda edizione. (Comunque, si, quello è un prodotto di convoluzione fatto rispetto alle sole variabili spaziali).

[Paolo902]

Eh sì, grazie per la risposta, dissonance.

Però avevo già visto anche Evans: il problema è che - come dici tu - accenna bene! Rimanda anche lui (come Salsa) a John, Partial differential equations risorsa a cui purtroppo io non ho modo di accedere.

E' chiaro che, alla fine, la cosa veramente importante è il teorema di unicità (teorema 7 di Evans); tuttavia, mi resta questa curiosità di capire da dove salta fuori quella funzione lì... insomma, non è proprio standard, no? Da dove salta fuori? Come ci è arrivato Tychonoff?

Magari sono tutte domande sciocche, però, non so, ho come il sospetto che ci sia qualcosa sotto...

[Camillo]

Leggendo sul Salsa anche a me era venuto da pensare : ma come ha fatto Tychonoff ad arrivare a quella formula " pazzesca" e poi ci credo che sia vero ma di certo non l'ho verificata

[Paolo902]

Ok, due considerazioni: Tychonoff era un maledetto genio e... io sono un gran rompiscatole. Alla fine ne abbiamo discusso a lezione e abbiamo sviluppato nel dettaglio i conti. E' cosa un po' lunga, ma molto istruttiva e elegante. C'è di mezzo persino la formula integrale di Cauchy

Lemma 1. Sia $k \in \NN$. Allora
\[
\frac{k!}{(2k)!} \le \frac{1}{k!}
\]

Dimostrazione. E' equivalente mostrare che $(k!)^2 \le (2k)!$ per ogni $k$ naturale: ciò si fa subito per induzione.

Definiamo ora la funzione di variabile complessa $g: \Omega \to \CC$ definita da [tex]z \mapsto \exp{\left(-\frac{1}{z^{2}}\right)}[/tex], dove $\Omega := \CC\setminus\{0\}$.

Lemma 2. Esiste [tex]\theta \in (0,1)[/tex] tale che per ogni $t \in (0,+\infty)$ risulta
\[
\Re{g(z)} > \frac{1}{2t^{2}}, \quad \forall z \in \partial D_{\theta t} (t)
\]
(dove ovviamente [tex]D_{\theta t} (t):=\{z \in \mathbb C : \vert z - t \vert < \theta t \}[/tex]).

Dimostrazione. Osserviamo che [tex]\inf_{z \in \partial D_{0} (1)} \Re{g(z)} =1[/tex]: questo è banale, perchè [tex]D_{0} (1) =\{1\}[/tex]. Per continuità (e questo è il punto cruciale: non è difficile convincersi che è tutto continuo, fuori da $z=0$) esisterà un $\theta >0$ (che possiamo supporre minore di $1$, cioè $\theta \in (0,1)$) tale che
\[
\inf_{z \in \partial D_{\theta} (1)} \Re{g(z)} >\frac{1}{2}
\]
A questo punto, osserviamo che per ogni $t >0$ e per ogni $z \in \partial D_{\theta t} (t)$ si ha $|z-t|=\theta t \Leftrightarrow \frac{z}{t} \in \partial D_{\theta}(1)$ e perciò
\[
\Re{g(z)} >\frac{1}{2}
\]
cioè
\[
\Re{\frac{1}{\frac{z^2}{t^2}}} >\frac{1}{2}
\]
da cui l'asserto.

Lemma "chiave". Esiste $\theta \in (0,1)$ tale che per ogni $t>0$ e per ogni $k \in \NN$ si ha
\[
\frac{\vert g^{(k}(t) \vert}{k!} \le e^{-\frac{1}{2t^2}}\frac{1}{(\theta t)^k}
\]

Dimostrazione. E qui c'è la parte bella. Siccome $g(\cdot)$ è olomorfa in $\Omega$ posso scrivere la formula integrale di Cauchy per le derivate di $g$: più precisamente, per ogni $z_0 \in \Omega$ e per ogni $r \in (0, |z_0|)$ si ha
\[
g^{(k)}(z_0)= \frac{k!}{2\pi i } \int_{\partial B_{r}(z_0)} \frac{g(z)}{(z-z_0)^{k+1}}dz
\]

Applichiamo la formula prendendo $z_0=t$ e $r=\theta t$, dove $\theta \in (0,1)$ è un $theta$ di continuità fornito dal Lemma 2. Risulta

\[
\left\vert \frac{g^{(k)}(t)}{k!} \right\vert = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial D_{\theta t}(t)} \frac{\exp{(-z^{-2})}}{(z-t)^{k+1}}dz
\]

Le solite maggiorazioni standard e alcuni fatti elementari (ad esempio [tex]\vert e^{w} \vert = e^{\Re w}[/tex]) giustificano la seguente catena di disuguaglianze:

\[
\begin{split}
\left\vert \frac{g^{(k)}(t)}{k!} \right\vert & = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial D_{\theta t}(t)} \frac{\exp{(-z^{-2})}}{(z-t)^{k+1}}dz \\
& \le \frac{1}{2\pi} 2\pi (t \theta) \max_{\partial D_{\theta t}(t)} \left \vert \frac{\exp{(-z^{-2})}}{(z-t)^{k+1}} \right\vert \\
& \le e^{-\frac{1}{2t^2}}\frac{1}{(\theta t)^k}
\end{split}
\]

dove, nella stima del $\max$ si è anche tenuto conto ovviamente del Lemma 2 e del fatto che $|z-t| = \theta t$ sulla circonferenza $\partial D_{\theta t}(t)$.

Va bene, ci siamo, finalmente.

Teorema (il controesempio di Tychonoff in dimensione $n=1$). Sia
\[
u(t,x) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(t)}{(2k)!}x^{2k}
\]

Allora:
[list=1]
[*:9361i7xc] $u(t,x)$ è ben definita per ogni $t>0$ e per ogni $x \in \RR$. [/*:m:9361i7xc]
[*:9361i7xc] $u(t,x)$ risolve l'equazione del calore, i.e. è regolare quanto serve e $u_t=u_{x x}$ su tutto $(0,+\infty) \times RR$.[/*:m:9361i7xc]
[*:9361i7xc] $\lim_{t \to 0} u(t,x) = 0$ per ogni $x \in RR$[/*:m:9361i7xc][/list:o:9361i7xc]

Dimostrazione.
Il teorema è, a questo punto, un semplice esercizio sulle serie di potenze. Infatti, per dimostrare il punto 1) basta applicare le maggiorazioni del Lemma 1 e del Lemma 3 per avere che la serie è assolutamente convergente e quindi converge per ogni $(t,x) \in (0,+\infty) \times RR$. Di più, la convergenza è uniforme (test di Weierstrass) in ogni compatto del tipo $[a,b] \times [-R, R]$; ancora, la serie si può maggiorare facilmente con un'esponenziale
\[
\vert u(x,t) \vert \le \exp{\left( -\frac{1}{2t^2} + \frac{x^2}{\theta t}\right)}
\]
e ciò basta - confronto! - a provare il punto 3). Infine, il pezzo più importante è il punto 2): ma anche qui, rispetto a $x$ non c'è problema perchè la $u$ è una serie di potenze e si può derivare termine a termine. Rispetto a $t$ invece si può portare la derivazione sotto il segno di serie perchè c'è convergenza uniforme, come già osservato; un rapido conto permette di osservare che le espressioni di $u_t$ e $u_{x x}$ coincidono in ogni punto.

La condizione iniziale è anche soddisfatta (notiamo infatti che la $g$ è proprio quella malefica funzione che si porta come controesempio a Taylor.. è $C^{\infty}$ ma non è sviluppabile in serie di Taylor attorno all'origine perchè le sue derivate sono tutte nulle).

Un'osservazione conclusiva, che è stata fatta anche a lezione: questo controesempio, per quanto astruso possa sembrare, in realtà pone un grosso interrogativo circa la validità del modello diffusivo dato dall'equazione del calore (la bontà di questo modello è comunque dubbia anche per altri motivi, ad esempio si confronti con la questione della velocità di diffusione infinita).

P.S. Se qualcuno è arrivato fin qui, mi complimento per la pazienza

[dissonance]

Bello!!! Bravo!!! Finalmente ho capito la logica dietro quel controesempio!!! Hai proprio ragione a dire che la cosa più importante è proprio il fatto che \(g(t)\) abbia tutte le derivate nulle per \(t=0\). Infatti, se lasciamo stare per un attimo le questioni di convergenza della serie, qualsiasi funzione \(g\) rende

\[\sum_{k=0}^\infty g^{(k)}(t) \frac{x^{2k}}{(2k)!}\]

soluzione dell'equazione del calore, se uno si fa il conticino derivando termine a termine se ne convince. Il guaio è la condizione iniziale, che richiede l'annullarsi di tutti gli addendi. Ma ecco che Tychonoff si sarà ricordato di quando ha studiato quella malefica funzione che si annulla con tutte le derivate senza essere nulla ed è stata proprio una bella pensata, visto che ne parliamo ancora oggi.

Grande Paolo!

[Paolo902]

Grazie dissonance!

Comunque, c'è tutto su John; giusto per dare qualche riferimento più preciso, a pag.73 il problema n.3 chiede di dimostrare praticamente quelli che io ho chiamato "Lemmi 1-3" e anzi, dà anche qualche dettaglio in più (introduce alle classi di Gevrey).

Il resto della faccenda si trova alle pagina 211-212, nel capitolo sull'equazione del calore.
Grazie ancora per il tuo aiuto e per i tuoi "riferimenti" bibliografici