Il calcolo di questo residuo è corretto?
La funzione è la seguente: $f(z)=\frac{1}{z^n(e^z-1)}$
Come da titolo, vorrei sapere, per favore, se il modo in cui ho calcolato il residuo di $f(z)$ in $z_0=0$ è corretto.
Dunque, per prima cosa ho fatto ricorso agli sviluppi ed ho trasformato $e^z-1$ in $z+z^2/2+...$
$=1/z^n \cdot \frac{1}{z+z^2/2+o(z^2)}$
Ma posso considerare solo: $1/z^{n+1}$
Allora vedo che per calcolare il residuo devo considerare il caso $n=1$ ed un polo di ordine $n+1$ (suggerimento della prof.)
Di conseguenza, vedo che il coefficiente dello sviluppo in serie di Laurent $C_{-1}$ vale $1$ per il caso $n=1$ quindi il residuo dovrebbe valere proprio 1.
E il tipo di singolarità è di tipo polo di ordine $n+1$.
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie, come sempre.
Come da titolo, vorrei sapere, per favore, se il modo in cui ho calcolato il residuo di $f(z)$ in $z_0=0$ è corretto.
Dunque, per prima cosa ho fatto ricorso agli sviluppi ed ho trasformato $e^z-1$ in $z+z^2/2+...$
$=1/z^n \cdot \frac{1}{z+z^2/2+o(z^2)}$
Ma posso considerare solo: $1/z^{n+1}$
Allora vedo che per calcolare il residuo devo considerare il caso $n=1$ ed un polo di ordine $n+1$ (suggerimento della prof.)
Di conseguenza, vedo che il coefficiente dello sviluppo in serie di Laurent $C_{-1}$ vale $1$ per il caso $n=1$ quindi il residuo dovrebbe valere proprio 1.
E il tipo di singolarità è di tipo polo di ordine $n+1$.
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie, come sempre.
Risposte
Non sono completamente d'accordo con ciò che dici. Se sviluppi in serie di laurent la funzione $g(z)=(e^z-1)^{-1}$ otterrai uno sviluppo del tipo
$g(z)=1/z-1/2+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_{2k+1} z^{2k+1}$
e quindi
$f(z)=1/{z^{n+1}}-1/{2z^n}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_{2k+1} z^{2k+1-n}$.
Ne segue che, come hai detto tu, hai un polo di ordine $n+1$ nell'origine. Tuttavia il residuo dipende dal valore di $n$: in particolare avrai che il residuo si può ottenere imponendo che $2k+1-n=-1$ e quindi per $k=n/2-1$. Risulta ovvio allora che per $n=2m$ (pari) il residuo si ha per $k=m-1$ e quindi vale $a_{2m-1}$ mentre se $n=2m+1$ (dispari) poiché risolvendo l'equazione in $k$ trovi un valore non intero, puoi concludere che in tal caso il residuo è nullo, non essendoci nessun valore intero per cui $2k+2m=-1$.
$g(z)=1/z-1/2+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_{2k+1} z^{2k+1}$
e quindi
$f(z)=1/{z^{n+1}}-1/{2z^n}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_{2k+1} z^{2k+1-n}$.
Ne segue che, come hai detto tu, hai un polo di ordine $n+1$ nell'origine. Tuttavia il residuo dipende dal valore di $n$: in particolare avrai che il residuo si può ottenere imponendo che $2k+1-n=-1$ e quindi per $k=n/2-1$. Risulta ovvio allora che per $n=2m$ (pari) il residuo si ha per $k=m-1$ e quindi vale $a_{2m-1}$ mentre se $n=2m+1$ (dispari) poiché risolvendo l'equazione in $k$ trovi un valore non intero, puoi concludere che in tal caso il residuo è nullo, non essendoci nessun valore intero per cui $2k+2m=-1$.
Prima di tutto grazie per l'aiuto! 
Scusa, perdonami ma quello che mi hai scritto mi mette un po' in difficoltà in alcuni punti.
Poi hai inserito anche $k$ e non c'ho capito molto..
Vorrei piuttosto riprendere anche la mia (seppur sbagliata(?)) ipotesi.. e magari capire bene dove sto sbagliando.
Dunque, di solito io faccio così (così mi hanno insegnato - magari ho capito male io...):
Prendo la mia $f(z)=\frac{1}{z^n(e^z-1)}$ e per prima cosa so che $e^z=\sum_{n=0}^\infty z^n/{n!}=1+z+z^2/2+z^3/{3!}+o(z^3)$ (mi fermo al termine di grado 3).
Quindi $e^z-1=z+z^2/2+z^3/{3!}+o(z^3)$.
A questo punto utilizzo questo risultato per andarlo a piazzare a denominatore della $f(z)$ al posto di $(e^z-1)$ e ottengo:
$f(z)=\frac{1}{z^{n+1}+\frac{z^{n+2}}{2}+\frac{z^{n+3}}{3!}}$ (e anche qui mi fermo al termine di grado 3).
Ora, a partire da qui, non dovrei già essere in grado di dire quanto vale $C_{-1}$ e quindi calcolare il residuo?
A me verrebbe solo in mente di dire, che considerando solo il primo termine del polinomio a denominatore $z^{n+1}$, ho un polo in $z_0=0$ di ordine $n+1$ (e su questo mi pare siamo d'accordo).
Quindi considerando il suggerimento della prof. e ponendo $n=1$ ho un $1/z^2$. Il coefficiente di questo termine è 1, e corrisponderebbe al mio $C_{-1}$.
Il residuo quindi dovrebbe appunto valere 1.
Scusa, perdonami ma quello che mi hai scritto mi mette un po' in difficoltà in alcuni punti.
Poi hai inserito anche $k$ e non c'ho capito molto..
Vorrei piuttosto riprendere anche la mia (seppur sbagliata(?)) ipotesi.. e magari capire bene dove sto sbagliando.
Dunque, di solito io faccio così (così mi hanno insegnato - magari ho capito male io...):
Prendo la mia $f(z)=\frac{1}{z^n(e^z-1)}$ e per prima cosa so che $e^z=\sum_{n=0}^\infty z^n/{n!}=1+z+z^2/2+z^3/{3!}+o(z^3)$ (mi fermo al termine di grado 3).
Quindi $e^z-1=z+z^2/2+z^3/{3!}+o(z^3)$.
A questo punto utilizzo questo risultato per andarlo a piazzare a denominatore della $f(z)$ al posto di $(e^z-1)$ e ottengo:
$f(z)=\frac{1}{z^{n+1}+\frac{z^{n+2}}{2}+\frac{z^{n+3}}{3!}}$ (e anche qui mi fermo al termine di grado 3).
Ora, a partire da qui, non dovrei già essere in grado di dire quanto vale $C_{-1}$ e quindi calcolare il residuo?
A me verrebbe solo in mente di dire, che considerando solo il primo termine del polinomio a denominatore $z^{n+1}$, ho un polo in $z_0=0$ di ordine $n+1$ (e su questo mi pare siamo d'accordo).
Quindi considerando il suggerimento della prof. e ponendo $n=1$ ho un $1/z^2$. Il coefficiente di questo termine è 1, e corrisponderebbe al mio $C_{-1}$.
Il residuo quindi dovrebbe appunto valere 1.
Tu ti limiti a sviluppare $e^z$ ma nella tua funzione hai $1/{e^z-1}$ quindi devi sviluppare così: prima di tutto sviluppi $e^z$ che puoi riscrivere come prodotto di una $z$ per una altra funzione polinomiale $1+h(z)$. A questo punto, devi sviluppare $1/{1+h(z)$ per vedere come è fatto lo sviluppo di Laurent. Io ti ho scritto quale è lo sviluppo di tutta la funzione $1/{e^z-1}$ ottenuto con questo metodo e quello che hai è lo sviluppo della mia funzione $g$. A questo punto, visto che in essa appaiono solo certe potenze della $z$ è ovvio che per differenti valori di $n$ otterrai differenti coefficienti per il termine che ha esponente $-1$. Quello che ho fatto dopo è ragionare in questo modo: visto che quando moltiplico gli esponenti nella serie diventano tutti $2k+1-n$ devi solo cercare, una volta fissato $n$ per quali valori di $k$ ottieni l'esponente $-1$. Il suo coefficiente è il residuo.
Ok, grazie, cercherò di ragionarci su un po' meglio.
Comunque non è che io mi sia limitato a sviluppare $e^z$. L'ho sviluppato e poi mi sono ricavato $e^z-1$ per poi metterlo a denominatore.
Comunque non è che io mi sia limitato a sviluppare $e^z$. L'ho sviluppato e poi mi sono ricavato $e^z-1$ per poi metterlo a denominatore.
Ho capito quello che hai fatto... il problema è che non puoi fermati lì! La funzione non è $e^z-1$ ma $1/{e^z-1}$, chiaro?
Ma scusa... eppure mi sembra di averlo messo a denominatore lo sviluppo di $e^z-1$!!! Infatti poi lo moltiplico (sempre a denominatore) con $z^n$.
Ho ripreso la funzione iniziale, e al posto di $e^z-1$ ho messo il suo sviluppo, poi ho moltiplicato.
Ho ripreso la funzione iniziale, e al posto di $e^z-1$ ho messo il suo sviluppo, poi ho moltiplicato.
Ma scusami un secondo, la serie di Laurent per definizione si scrive così
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n$
o così
$1/{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}$ ??
No perché se è la seconda, allora mi dimetto dal mestiere di ricercatore!
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n$
o così
$1/{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}$ ??
No perché se è la seconda, allora mi dimetto dal mestiere di ricercatore!
Scusa ciampax.
Di sicuro sono io il meno esperto quindi certo è che non voglio assolutamente mettere in dubbio quello che scrivi.
Forse mi esprimo male io, però quello che ho imparato (e a questo punto forse ho imparato male) è che in questi casi, si deve riscrivere "la parte giusta" in sviluppo...
Prima mi riscrivo la serie di Laurent, poi mi scrivo i primi termini, e poi prendo questi termini e li sostituisco nel pezzo della f(z) che mi interessa...
E' chiaro che la definizione di serie di Laurent è la prima.. (non per darti conferma ma per farti sapere che non la penso al contrario)
Ecco un esempio:
Io devo risolvere l'esercizio che ho proposto all'inizio, nello stesso modo in cui risolvo il seguente (che so per certo che è giusto):
$f(z)=\sin(1/z)$ Calcolare il residuo nel suo unico punto singolare.
Allora, so che $\sin(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
Dal momento che l'argomento del seno è $1/z$ riscrivo la mia $f(z)$ in base alla serie precedente e quindi:
$\sin(1/z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(1/z)^{2n+1}$
Sviluppando i primi termini ho: $1/z-1/z^3\cdot 1/{3!}+\cdots$
In questo caso manca la parte regolare, e quindi lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z)$ è quello appena visto.
Il tipo di singolarità in $z_0=0$ è di tipo essenziale, e l'unico modo che ho per calcolare il residuo è quello di vedere quanto vale il mio coefficiente $C_{-1}$.
Il coefficiente $C_{-1}$ è il "numero" (non te lo sto spiegando, ovviamente, ma scrivendo il percorso mentale che sto facendo) che sta al numeratore della frazione $1/z$, ovvero il primo termine dello sviluppo.
Quindi il residuo di f(z) nel punto singolare z=0 vale 1.
A me hanno spiegato così, e questo metodo è corretto al 100%.
Dovrei fare la stessa cosa con la $f(z)$ di cui stiamo parlando negli altri post. So di non avere le idee chiarissime per quanto riguarda la $f(z)$ in questione, ma per quanto riguarda l'esempio che ho appena riportato non ho dubbi!
Se necessario posso riportare anche un altro esempio simile alla $f(z)$ in questione.
Grazie ancora
Di sicuro sono io il meno esperto quindi certo è che non voglio assolutamente mettere in dubbio quello che scrivi.
Forse mi esprimo male io, però quello che ho imparato (e a questo punto forse ho imparato male) è che in questi casi, si deve riscrivere "la parte giusta" in sviluppo...
Prima mi riscrivo la serie di Laurent, poi mi scrivo i primi termini, e poi prendo questi termini e li sostituisco nel pezzo della f(z) che mi interessa...
E' chiaro che la definizione di serie di Laurent è la prima.. (non per darti conferma ma per farti sapere che non la penso al contrario)
Ecco un esempio:
Io devo risolvere l'esercizio che ho proposto all'inizio, nello stesso modo in cui risolvo il seguente (che so per certo che è giusto):
$f(z)=\sin(1/z)$ Calcolare il residuo nel suo unico punto singolare.
Allora, so che $\sin(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
Dal momento che l'argomento del seno è $1/z$ riscrivo la mia $f(z)$ in base alla serie precedente e quindi:
$\sin(1/z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(1/z)^{2n+1}$
Sviluppando i primi termini ho: $1/z-1/z^3\cdot 1/{3!}+\cdots$
In questo caso manca la parte regolare, e quindi lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z)$ è quello appena visto.
Il tipo di singolarità in $z_0=0$ è di tipo essenziale, e l'unico modo che ho per calcolare il residuo è quello di vedere quanto vale il mio coefficiente $C_{-1}$.
Il coefficiente $C_{-1}$ è il "numero" (non te lo sto spiegando, ovviamente, ma scrivendo il percorso mentale che sto facendo) che sta al numeratore della frazione $1/z$, ovvero il primo termine dello sviluppo.
Quindi il residuo di f(z) nel punto singolare z=0 vale 1.
A me hanno spiegato così, e questo metodo è corretto al 100%.
Dovrei fare la stessa cosa con la $f(z)$ di cui stiamo parlando negli altri post. So di non avere le idee chiarissime per quanto riguarda la $f(z)$ in questione, ma per quanto riguarda l'esempio che ho appena riportato non ho dubbi!
Se necessario posso riportare anche un altro esempio simile alla $f(z)$ in questione.
Grazie ancora
Sì, in questo esercizio hai fatto bene! ma la mia domanda è: questa funzione, che hai scritto originariamente nel post iniziale
$f(z)=\frac{1}{z^n}\cdot\frac{1}{e^z-1}=1/z^n \cdot \frac{1}{z+z^2/2+o(z^2)}$
ti pare messa sotto forma di serie di Laurent????
P.S.: guarda che non mi sono offeso, solo che mi sa che non capisci quello che ti sto dicendo. Per risolvere questi esercizi DEVI scrivere la serie di laurent... e tu non lo hai fatto in questo caso!
$f(z)=\frac{1}{z^n}\cdot\frac{1}{e^z-1}=1/z^n \cdot \frac{1}{z+z^2/2+o(z^2)}$
ti pare messa sotto forma di serie di Laurent????
P.S.: guarda che non mi sono offeso, solo che mi sa che non capisci quello che ti sto dicendo. Per risolvere questi esercizi DEVI scrivere la serie di laurent... e tu non lo hai fatto in questo caso!
No effettivamente non è messo in serie di Laurent.
Però ho una buona notizia. Oggi sono stato a ricevimento dalla mia professoressa e mi ha spiegato come devo fare.
Il modo in cui sto procedendo è giusto, ma per completare il calcolo del residuo devo fare in un certo modo.... ovvero:
Prima di tutto arrivo a scrivere la mia $f(z)$ nel seguente modo:
$f(z)=\frac{1}{z^{n+1}+\frac{z^{n+2}}{2}+\frac{z^{n+3}}{3!}}$
Poi per quanto riguarda il polinomio a denominatore posso considerare solo il primo termine e so che ho un polo di ordine n+1.
OK, fino a qui c'eravamo arrivati.
Il suggerimento della prof. era quello di considerare il caso n=1 per calcolo del residuo. Ora so che ho un polo doppio in $z=0$.
A questo punto, semplicemente, utilizzo la seguente regola per il calcolo dei residui, ovvero:
$res(f(z),z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_(z->z_0)\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[f(z)\cdot (z-z_0)^n]$
E la $f(z)$ della quale calcolo il residuo è la seguente:
$f(z)=\frac{1}{z^{2}+\frac{z^{3}}{2}+\frac{z^{4}}{3!}}$
A te quanto viene il residuo?
Così lo confronto con quello che viene a me.
Però ho una buona notizia. Oggi sono stato a ricevimento dalla mia professoressa e mi ha spiegato come devo fare.
Il modo in cui sto procedendo è giusto, ma per completare il calcolo del residuo devo fare in un certo modo.... ovvero:
Prima di tutto arrivo a scrivere la mia $f(z)$ nel seguente modo:
$f(z)=\frac{1}{z^{n+1}+\frac{z^{n+2}}{2}+\frac{z^{n+3}}{3!}}$
Poi per quanto riguarda il polinomio a denominatore posso considerare solo il primo termine e so che ho un polo di ordine n+1.
OK, fino a qui c'eravamo arrivati.
Il suggerimento della prof. era quello di considerare il caso n=1 per calcolo del residuo. Ora so che ho un polo doppio in $z=0$.
A questo punto, semplicemente, utilizzo la seguente regola per il calcolo dei residui, ovvero:
$res(f(z),z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_(z->z_0)\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[f(z)\cdot (z-z_0)^n]$
E la $f(z)$ della quale calcolo il residuo è la seguente:
$f(z)=\frac{1}{z^{2}+\frac{z^{3}}{2}+\frac{z^{4}}{3!}}$
A te quanto viene il residuo?
Così lo confronto con quello che viene a me.
Esattamente quanto hai scritto sopra. E scoprirai che per i valori di $n$ dispari il residuo è nullo, mentre è non nullo (e dovrebbe venire pari al coefficiente del termine $z^{n/2-1}$ se $n$ è pari!
A me il residuo vale $-1/2$. E 'ho calcolato con la formula che ho riportato prima!
Sta volta dovremmo esserci!
Sta volta dovremmo esserci!
Vale $-1/2$ per quale valore di $n$ ?
Già, dimenticavo.. per $n=1$.
E per gli altri valori di $n$?
Beh, dovrei calcolare il residuo lasciando il parametro $n$ nella f(z), sempre con la stessa formula.. ora questo va al di là di quel "poco" che chiedeva..
Ah ok. Comunque, se mi dai tempo, ti scrivo per bene la soluzione per $n$ generico.... sempre se ti va!
Ok! grazie, mi fa sempre bene allenarmi con queste cose.
Prenditi tutto il tempo di cui hai bisogno!
Grazie di cuore per tutto!
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