Identità trigonometrica

[wylde67]

Buonasera,
se $\alpha$ è un numero positivo non intero (compreso tra 0 e 2 se necessario) e $m $ un intero positivo tale che $m-1<\alpha $ cos((pi ) /2 alpha)=cos((pi ) /2 (m-alpha)) $
???
Grazie!

[walter.ruggeri.3]

Così, di getto, io penserei:

Sviluppando il secondo termine:

$ cos(pi/2(m-alpha)) = cos(pi/2m)cos(pi/2alpha)+sin(pi/2m)sin(pi/2alpha) $

Ora, si ha che $alpha$ non è intero, quindi non sarà mai $pi/2alpha = pi/2$ o $pi/2alpha = pi$ (o relativi multipli). Dunque sappiamo che nè $cos(pi/2alpha)$ nè $sin(pi/2alpha)$ si annullano.

A questo punto, visto che $m$ è intero, si possono presentare due casi:

- È dispari: in tal caso, $cos(pi/2m) = 0$ e dunque $ cos(pi/2(m-alpha)) = +- sin(pi/2alpha) $ e l'uguaglianza richiesta non è verificata
- È pari: in tal caso, $sin(pi/2m) = 0$ e dunque $ cos(pi/2(m-alpha)) = +- cos(pi/2alpha) $ e l'uguaglianza richiesta potrebbe essere verificata (ma non è certo che lo sia: se $m = 6$, per esempio, si ha $ cos(pi/2(m-alpha)) = - cos(pi/2alpha) $ che non è ciò che vogliamo)

[wylde67]

Grazie per la risposta! Mi correggo, in effetti la relazione che ho trovato è $ cos(pi/2(m-alpha)) = - cos(pi/2alpha) $ però da quello che ho capito dovrebbe valere per qualunque m...

[walter.ruggeri.3]

Anche nella nuova forma che hai proposto, l'uguaglianza non vale: ti basta prendere opportuni valori delle due variabili e verificare. Per esempio, se poni $m = 3$ e $alpha = 13/5$ si ha:

$cos(pi/2alpha) = cos(13/10pi) ~= -0,59$
$cos(pi/2(m-alpha)) = cos(pi/2*2/5) = cos(pi/5) = 0,81$




Un piccolo appunto, a proposito: se poni, come avevi scritto,

"wylde67":
$ \alpha $ [...] compreso tra 0 e 2 se necessario

Allora abbiamo due possibilità:

- Se $1 - Se $0

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