Identità relativa all'arcoseno

[pepp1995]

Qualcuno mi sà spiegare da dove nasce l'identità $arcsin(cosx)=1-sqrt(1-cos^2(x))$

[anto_zoolander]

Ma ne sei sicuro?

$arcsin(cos(0))=arcsin(1)=pi/2$

$1-sqrt(1-cos^2(0))=1$

[pepp1995]

Utilizzata dal tutor nella risoluzione di un integrale doppio .
Lo step è il seguente:
$ int_(0)^(cosTheta ) rho /sqrt(1-rho ^2) drho $
da cui ottengo un $arcsin(cos(theta))$ che viene indicato come $1-sqrt(1-cos^2theta)$

[anto_zoolander]

Rosso: $arcsin(cosx)$
Azzurro: $1-sqrt(1-cos^2(x))$

Mi sembra abbastanza difficile che possa essere una identità.

[pilloeffe]

Ciao pepp1995,

La parte dell'integrale mi torna, infatti si ha:

$ int frac{rho d\rho}{sqrt(1-rho^2)} = - frac{1}{2} int - 2 rho (1 - \rho^2)^{-1/2} d\rho = - sqrt(1-rho^2) + c $

Quindi passando all'integrale definito si ha:

$ int_{0}^{cos\theta} frac{rho d\rho}{sqrt(1-rho^2)} = [- sqrt(1-rho^2)]_0^{cos\theta} = - sqrt(1-cos^2\theta) + 1 = 1 - sqrt(1-cos^2\theta) $

Invece l'altra parte non mi torna e sono d'accordo con anto_zoolander, nel senso che si ha:

$arcsin(cos x) = arcsin sin(pi/2 - x) = pi/2 - x $

per $ 0 \le x \le \pi $, mentre mi pare di capire che invece sia stata usata l'identità seguente:

$ sin(arccos x) = sqrt{1 - x^2} $

e poi si è posto $ x := cos\theta $ ottenendo così

$sin(arccos(cos\theta)) = sqrt(1-cos^2\theta) $
$sin(pi/2 - arcsin(cos\theta)) = sqrt(1-cos^2\theta) $
$cos(arcsin(cos\theta)) = sqrt(1-cos^2\theta) $

[pepp1995]

Grazie mille pilloeffe =)