Identità integrali goniometrici
Salve, stavo cercando di risolvere $\int \frac{1}{(a+b\cos x)^3} dx$. Ho trovato nelle tabelle degli integrali alcune identità che consentono di ricondurre integrali di questa forma a integrali con esponente inferiore, ad esempio $$\int \frac{1}{(a+b\cos x)^2} dx = \frac{b\sin x}{(b^2-a^2)(a+b\cos x)} - \frac{a}{b^2-a^2}\int \frac{1}{a+b\cos x} dx$$
ma non sono riuscito a trovare nessuna dimostrazione "costruttiva" per ottenere tali identità. Qualcuno saprebbe darmi una mano?
ma non sono riuscito a trovare nessuna dimostrazione "costruttiva" per ottenere tali identità. Qualcuno saprebbe darmi una mano?
Risposte
In generale vale la formula
$int 1/(a+bcos x)^n dx = 1/((n-1)(b^2-a^2))*[(bsinx)/(a+bcosx)^(n-1)-int (a*(n-1)-b*(n-2)*cosx)/(a+bcosx)^(n-1)dx]$
che per n=2 diventa quella riportata nel post. Dovrebbe essere ricavabile utilizzando qualche "opportuna" manipolazione trigonometrica e l'integrazione per parti.
$int 1/(a+bcos x)^n dx = 1/((n-1)(b^2-a^2))*[(bsinx)/(a+bcosx)^(n-1)-int (a*(n-1)-b*(n-2)*cosx)/(a+bcosx)^(n-1)dx]$
che per n=2 diventa quella riportata nel post. Dovrebbe essere ricavabile utilizzando qualche "opportuna" manipolazione trigonometrica e l'integrazione per parti.
Ciao NomeGiaInUso,
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Posto $I_n(a, b) := \int \frac{\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} $, si ha $I_1(a, b) = (2 \text{arctanh}[((b - a) tan(x/2))/\sqrt(b^2 - a^2)])/\sqrt(b^2 - a^2) + c $
Non è breve, ma si può dimostrare che per $n \ge 2 $ sussiste la seguente formula di ricorrenza:
$I_n(a, b) =\frac{b\sin x}{(n-1)(b^2-a^2)(a+b\cos x)^{n-1}}-\frac{(2n-3)a}{(n-1)(b^2-a^2)}I_{n - 1}(a, b)+\frac{(n-2) I_{n - 2}(a, b)}{(n-1)(b^2-a^2)} $
Per $n = 2 $ si ha proprio la formula che hai scritto:
$I_2(a, b) =\frac{b\sin x}{(b^2-a^2)(a+b\cos x)}-\frac{a}{b^2-a^2}I_{1}(a, b) $
Infatti si ha:
$I_n(a, b) = \int \frac{\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} = 1/a \int \frac{a\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} = 1/a \int \frac{(a + b cos x - b cos x)\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} = $
$ = 1/a \int \frac{\text{d}x}{(a+b\cos x)^{n - 1}} - b/a \int \frac{cos x \text{d}x}{(a+b\cos x)^n}= 1/a I_{n - 1}(a, b) - b/a \int \frac{\text{d}(sin x)}{(a+b\cos x)^n} = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + b/a \int (sin x) \text{d}[\frac{1}{(a + b cos x)^n}] = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + (n b^2)/a \int \frac{sin^2 x}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - (n b^2)/a \int \frac{cos^2 x - 1}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{b^2 cos^2 x - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{b^2 cos^2 x + 2ab cos x + a^2 - 2ab cos x - a^2 - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{b^2 cos^2 x + 2ab cos x + 2a^2 - 2ab cos x - 2a^2 - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{(a + b cos x)^2 - 2a(a + b cos x) + a^2 - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = - (n - 1)/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + 2n I_n(a, b) + (n(b^2 - a^2))/a I_{n + 1}(a, b) $
Quindi, risistemando un po' i vari termini:
$ (n(a^2 - b^2))/a I_{n + 1}(a, b) = - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + (2n - 1)I_n(a, b) - (n - 1)/a I_{n - 1}(a, b) $
$ I_{n + 1}(a, b) = (b sin x)/(n(b^2 - a^2)(a + b cos x)^n) - (a(2n - 1))/(n(b^2 - a^2)) I_n(a, b) + (n - 1)/(n(b^2 - a^2)) I_{n - 1}(a, b) $
A questo punto basta sostituire $n $ con $n - 1$ e si ottiene proprio
$ I_n (a, b) = (b sin x)/((n - 1)(b^2 - a^2)(a + b cos x)^{n - 1}) - ((2n - 3)a)/((n - 1)(b^2 - a^2)) I_{n - 1}(a, b) + ((n - 2)I_{n - 2}(a, b))/((n - 1)(b^2 - a^2)) $
come volevasi dimostrare. $\square $
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"NomeGiaInUso":
Qualcuno saprebbe darmi una mano?
Posto $I_n(a, b) := \int \frac{\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} $, si ha $I_1(a, b) = (2 \text{arctanh}[((b - a) tan(x/2))/\sqrt(b^2 - a^2)])/\sqrt(b^2 - a^2) + c $
Non è breve, ma si può dimostrare che per $n \ge 2 $ sussiste la seguente formula di ricorrenza:
$I_n(a, b) =\frac{b\sin x}{(n-1)(b^2-a^2)(a+b\cos x)^{n-1}}-\frac{(2n-3)a}{(n-1)(b^2-a^2)}I_{n - 1}(a, b)+\frac{(n-2) I_{n - 2}(a, b)}{(n-1)(b^2-a^2)} $
Per $n = 2 $ si ha proprio la formula che hai scritto:
$I_2(a, b) =\frac{b\sin x}{(b^2-a^2)(a+b\cos x)}-\frac{a}{b^2-a^2}I_{1}(a, b) $
Infatti si ha:
$I_n(a, b) = \int \frac{\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} = 1/a \int \frac{a\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} = 1/a \int \frac{(a + b cos x - b cos x)\text{d}x}{(a+b\cos x)^n} = $
$ = 1/a \int \frac{\text{d}x}{(a+b\cos x)^{n - 1}} - b/a \int \frac{cos x \text{d}x}{(a+b\cos x)^n}= 1/a I_{n - 1}(a, b) - b/a \int \frac{\text{d}(sin x)}{(a+b\cos x)^n} = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + b/a \int (sin x) \text{d}[\frac{1}{(a + b cos x)^n}] = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + (n b^2)/a \int \frac{sin^2 x}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - (n b^2)/a \int \frac{cos^2 x - 1}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{b^2 cos^2 x - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{b^2 cos^2 x + 2ab cos x + a^2 - 2ab cos x - a^2 - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{b^2 cos^2 x + 2ab cos x + 2a^2 - 2ab cos x - 2a^2 - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = 1/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) - n/a \int \frac{(a + b cos x)^2 - 2a(a + b cos x) + a^2 - b^2}{(a + b cos x)^{n + 1}} \text{d}x = $
$ = - (n - 1)/a I_{n - 1}(a, b) - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + 2n I_n(a, b) + (n(b^2 - a^2))/a I_{n + 1}(a, b) $
Quindi, risistemando un po' i vari termini:
$ (n(a^2 - b^2))/a I_{n + 1}(a, b) = - (b sin x)/(a(a + b cos x)^n) + (2n - 1)I_n(a, b) - (n - 1)/a I_{n - 1}(a, b) $
$ I_{n + 1}(a, b) = (b sin x)/(n(b^2 - a^2)(a + b cos x)^n) - (a(2n - 1))/(n(b^2 - a^2)) I_n(a, b) + (n - 1)/(n(b^2 - a^2)) I_{n - 1}(a, b) $
A questo punto basta sostituire $n $ con $n - 1$ e si ottiene proprio
$ I_n (a, b) = (b sin x)/((n - 1)(b^2 - a^2)(a + b cos x)^{n - 1}) - ((2n - 3)a)/((n - 1)(b^2 - a^2)) I_{n - 1}(a, b) + ((n - 2)I_{n - 2}(a, b))/((n - 1)(b^2 - a^2)) $
come volevasi dimostrare. $\square $
Avevo iniziato qualcosa del genere ma quando ho visto che l'esponente iniziava a crescere invece di diminuire ho pensato che non fosse la strada giusta, invece bastava perseverare un po' 
Grazie mille.
Grazie mille.
[ot]Anche a me piace il tuo nickname! [/ot]
[/ot]
"dissonance":
[ot]Anche a me piace il tuo nickname!
[ot]Ciao dissonance, ti confesso che quando ho visto il tuo intervento su questo thread ho subito pensato "Caspita, ha postato dissonance: chissà quale profonda osservazione ha fatto, devo andare subito a leggerla... "
[/ot]"NomeGiaInUso":
Grazie mille.
Prego!
"NomeGiaInUso":
quando ho visto che l'esponente iniziava a crescere invece di diminuire ho pensato che non fosse la strada giusta, invece bastava perseverare un po'
Se posso darti un consiglio, tipicamente queste formule di ricorrenza coinvolgono 2-3 termini (tipo $I_n$, $I_{n - 1} $, $I_{n - 2} $ oppure $I_{n + 1}$, $I_n $, $I_{n - 1} $); ora, è vero che il crescere dell'esponente può scoraggiare e far pensare di non essere sulla strada giusta, ma la questione veramente discriminante è il complicarsi o meno dell'integrale da risolvere: se vedi che l'integrale è ancora fattibile, così come è accaduto in questo caso dopo l'integrazione per parti, allora come hai scritto vale la pena perseverare un po'...
[ot]Mi sopravvaluti! Cosa mai potrei aggiungere al tuo post precedente, hai risolto il problema così totalmente che non c'è proprio altro da dire. 
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