Identità integrale della funzione Bessel di primo tipo
Salve a tutti,
Qualcuno saprebbe gentilmente dirmi con quale identità integrale di Bessel posso determinare il seguente integrale :
$int_0^1 J_0(ux)*(1-x^(2))^(n) dx$
ho a lungo cercato sul web, ma non sono riuscito a trovare nulla.
Grazie in anticipo.
Qualcuno saprebbe gentilmente dirmi con quale identità integrale di Bessel posso determinare il seguente integrale :
$int_0^1 J_0(ux)*(1-x^(2))^(n) dx$
ho a lungo cercato sul web, ma non sono riuscito a trovare nulla.
Grazie in anticipo.
Risposte
Hai già cercato sulla DLMF, sezione 10?
Oppure sul Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products?
Comunque, $u$ è un parametro?
Cosa ti fa credere che quell'integrale lì si possa calcolare in modo semplice?
Sei sicuro che ti interessi calcolarlo esplicitamente? A che ti serve?
Oppure sul Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products?
Comunque, $u$ è un parametro?
Cosa ti fa credere che quell'integrale lì si possa calcolare in modo semplice?
Sei sicuro che ti interessi calcolarlo esplicitamente? A che ti serve?
"gugo82":
Hai già cercato sulla DLMF, sezione 10?
Oppure sul Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products?
Sì, ho già cercato e purtroppo non sono riuscito a trovare un'identità che potesse farmi ricondurre a questo risultato.
"gugo82":
Comunque, $ u $ è un parametro?
$u=k_0asin(\theta)$ ed $x=\rho/a$
Riporto direttamente l'espressione tratta dal libro di testo :
l'integrale è stato moltiplicato e diviso per $a$ :
$a*int_(0)^(a/a) J_(0) (k_0a\frac{rho}{a}sin(\theta))*(1-\frac{\rho^2}{a^2})^(n)a\frac{\rho}{a}d\rho$
ottenendo l'integrale :
$a^2*int_0^1 J_0(ux)*(1-x^(2))^(n) dx$
"gugo82":
Cosa ti fa credere che quell'integrale lì si possa calcolare in modo semplice?
Sei sicuro che ti interessi calcolarlo esplicitamente? A che ti serve?
In realtà, non mi interessa determinarlo esplicitamente, però vorrei almeno capire come si perviene a quell'espressione.
Questo integrale è il secondo contributo dell'espressione del campo elettrico in zona lontana di una antenna a riflettore parabolico in una particolare condizione di funzionamento.
Ciao folgore,
Attenzione che l'integrale proposto inizialmente non è quello dell'immagine che hai pubblicato nel post successivo. Nell'integrale proposto inizialmente infatti non c'è la $x$ prima del $dx $ e si ha:
[tex]\int_0^1 J_0(ux) (1 - x^2)^n dx = \frac{1}{2} \Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg) \Gamma(n + 1) \cdot {}_1{\tilde F}_2 \bigg(\frac{1}{2}; 1, n + \frac{3}{2}; -\frac{u^2}{4}\bigg) =[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{\pi}}{2} n! \cdot {}_1{\tilde F}_2{}\bigg(\frac{1}{2}; 1, n + \frac{3}{2}; -\frac{u^2}{4}\bigg)[/tex]
per $ u \ge 0 $, $n > - 1 $ ove [tex]{}_p{\tilde F}_q{}(a_1,..., a_p; b_1,..., b_q; z) := \frac{{}_pF_q{}(a_1,..., a_p; b_1,..., b_q; z) }{\Gamma(b_1) \cdot ... \cdot \Gamma(b_q)}[/tex]
è la funzione ipergeometrica generalizzata regolarizzata.
Invece l'integrale che compare nell'immagine del post successivo è il seguente:
$ \int_0^1 J_0(ux) (1 - x^2)^n x dx = \frac{2^n}{u^{n + 1}} \Gamma(n + 1) J_{n + 1}(u) = \frac{2^n}{u^{n + 1}} n! J_{n + 1}(u) $
per $ u \ge 0 $, $n > - 1 $
Per quanto riguarda i passaggi, mi prendo un po' di tempo...
Attenzione che l'integrale proposto inizialmente non è quello dell'immagine che hai pubblicato nel post successivo. Nell'integrale proposto inizialmente infatti non c'è la $x$ prima del $dx $ e si ha:
[tex]\int_0^1 J_0(ux) (1 - x^2)^n dx = \frac{1}{2} \Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg) \Gamma(n + 1) \cdot {}_1{\tilde F}_2 \bigg(\frac{1}{2}; 1, n + \frac{3}{2}; -\frac{u^2}{4}\bigg) =[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{\pi}}{2} n! \cdot {}_1{\tilde F}_2{}\bigg(\frac{1}{2}; 1, n + \frac{3}{2}; -\frac{u^2}{4}\bigg)[/tex]
per $ u \ge 0 $, $n > - 1 $ ove [tex]{}_p{\tilde F}_q{}(a_1,..., a_p; b_1,..., b_q; z) := \frac{{}_pF_q{}(a_1,..., a_p; b_1,..., b_q; z) }{\Gamma(b_1) \cdot ... \cdot \Gamma(b_q)}[/tex]
è la funzione ipergeometrica generalizzata regolarizzata.
Invece l'integrale che compare nell'immagine del post successivo è il seguente:
$ \int_0^1 J_0(ux) (1 - x^2)^n x dx = \frac{2^n}{u^{n + 1}} \Gamma(n + 1) J_{n + 1}(u) = \frac{2^n}{u^{n + 1}} n! J_{n + 1}(u) $
per $ u \ge 0 $, $n > - 1 $
Per quanto riguarda i passaggi, mi prendo un po' di tempo...
"pilloeffe":
Ciao folgore,
Attenzione che l'integrale proposto inizialmente non è quello dell'immagine che hai pubblicato nel post successivo. Nell'integrale proposto inizialmente infatti non c'è la $x$ prima del $dx $ e si ha:
[tex]\int_0^1 J_0(ux) (1 - x^2)^n dx = \frac{1}{2} \Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg) \Gamma(n + 1) \cdot {}_1{\tilde F}_2 \bigg(\frac{1}{2}; 1, n + \frac{3}{2}; -\frac{u^2}{4}\bigg) =[/tex]
[tex]= \frac{\sqrt{\pi}}{2} n! \cdot {}_1{\tilde F}_2{}\bigg(\frac{1}{2}; 1, n + \frac{3}{2}; -\frac{u^2}{4}\bigg)[/tex]
per $ u \ge 0 $, $n > - 1 $ ove [tex]{}_p{\tilde F}_q{}(a_1,..., a_p; b_1,..., b_q; z) := \frac{{}_pF_q{}(a_1,..., a_p; b_1,..., b_q; z) }{\Gamma(b_1) \cdot ... \cdot \Gamma(b_q)}[/tex]
è la funzione ipergeometrica generalizzata regolarizzata.
Invece l'integrale che compare nell'immagine del post successivo è il seguente:
$ \int_0^1 J_0(ux) (1 - x^2)^n x dx = \frac{2^n}{u^{n + 1}} \Gamma(n + 1) J_{n + 1}(u) = \frac{2^n}{u^{n + 1}} n! J_{n + 1}(u) $
per $ u \ge 0 $, $n > - 1 $
Per quanto riguarda i passaggi, mi prendo un po' di tempo...
Grazie per la risposta.
Sicuramente avrò fatto un po' di confusione.
Ho spesso avuto a che fare con le funzioni di Bessel, ma solitamente me la cavavo con l'applicazione di qualche identità.
Di conseguenza, essere messi di fronte ad un risultato senza una minima spiegazione dei passaggi principali, manda un po' in tilt francamente...
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