Identità distribuzionale

[sulne]

aiuto ragazzi ho un problema di natura distribuzionale, bisona dimostrare che nello spazio delle distribuzioni di R^2 $\nabla^2logr=k\delta^2(x)$ dove k è una costante e r l'usuale raggio vettore, io ho ragionato nel modo seguente:

$\nabla^2logr=vec(\nabla)\cdot (vec(\nabla)logr)=
vec(\nabla)\cdot (vec(r)/r^2 )$

che fa zero ovunque tranne nell'origine, dunque mi sposto nello spazio delle distribuzioni con phi funzione di prova:

$int d^2x vec(\nabla)\cdot (vec(r)/r^2 )\phi(x)=
-int d^2x vec(r)/r^2 vec(\nabla)\phi(x)=
-lim_(\epsilon -> 0) int_[r>\epsilon] d^2x vec(r)/r^2 vec(\nabla)\phi(x)$

uso la regola di Leibniz per spezzare l'integrando in due, una parte (per quanto appena detto) in R^2 meno un dischetto centrato nell'origine fa zero e rimane

$-lim_(\epsilon -> 0) int_[r>\epsilon] d^2x vec(\nabla)\cdot (vec(r)/r^2 \phi(x))$

uso il teorema della divergenza e la parte all'infinito, grazie alla funzione di prova, svanisce; resta

$
lim_(\epsilon -> 0) int_[r=\epsilon] d\Sigma vec(n)\cdot \vec(r)/r^2 \phi(x)=
lim_(\epsilon -> 0) int_[r=\epsilon] d\Sigma vec(n)\cdot vec(n)1/r \phi(x)=
lim_(\epsilon -> 0) int_[r=\epsilon] d\Sigma 1/r \phi(x)
$

e ora mi piacerebbe dire che $d\Sigma=rd\theta$ e dunque l'integrale fa $2pi\phi(0)=2piintd^2x\delta^2(x)\phi(x)$ così da concludere, tuttavia phi non dipende da epsilon ma da x e così non posso concludere niente

aiuto, so che è pesante da scrivere e non sto chiedendo di risolvere tutto, mi basterebbe che qualcuno mi desse qualche aiuto per terminare, mi rimetto nelle mani di voi matematici! grazie in anticipo, per lo meno di aver letto il testo

[sulne]

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[sulne]

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[Emar1]

Non ho guardato tutto, ma solo la fine:

"sulne":$lim_(\epsilon -> 0) int_[r=\epsilon] d\Sigma 1/r \phi(x) $

Più esplicitamente hai:
\[\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} \frac{1}{\|\mathbf{x}\|}\phi(\mathbf{x}) ds = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon}\int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} \phi(\mathbf{x}) ds \]
dove \(\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})\) è la circonferenza di raggio $\epsilon$ centrata in $0$ e gli integrali sono fatti rispetto alla misura d'arco $ds$.

L'ultimo integrale lo puoi scrivere come:
\[2\pi \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2\pi \varepsilon}\int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} \phi(\mathbf{x}) ds = 2\pi \lim_{\varepsilon \to \mathbf{0}} \frac{1}{|\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})|}\int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} \phi(\mathbf{x}) ds\]
Che è una media integrale e tende a $2 \pi \phi(\mathbf{0})$. Per convincerti puoi parametrizzare la circonferenza e utilizzare il teorema della media integrale oppure usando delle stime.

Per esempio:
\[\frac{1}{2\pi \varepsilon}\int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} \phi(\mathbf{x}) ds \le \frac{1}{2\pi \varepsilon}|\partial B_\varepsilon(\mathbf{0})| \max_{\mathbf{x} \in \partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} |\phi(\mathbf{x}) |= \max_{\mathbf{x} \in \partial B_\varepsilon(\mathbf{0})} |\phi(\mathbf{x})|\]
L'ultimo termine, dato che facendo il limite l'insieme tende a $\{\mathbf{0}\}$, tende a $\phi(\mathbf{0})$