Identità di polinomi (Cauchy)
Ho questo problema di Cauchy
$y''(t) + 2y'(t) + y(t) = sin(t) e^(3t)$ con $y(0) = 1$ e $y'(0)=0$
Svolgo la parte omogenea che, dato il risultato dell'associata uguale $-1$ con molteplicità 2, dovrebbe essere nella forma:
$y(t) = C1 e^(-t) + C2te^(-t)$
Quindi con il metodo di somiglianza cerco l'equazione particolare nella forma:
$Acos(t)e^(3t) + Bsin(t)e^(3t)$
A questo punto dovrei derivare fino alla derivata seconda e sostituire poi nell'equazione originale, ma non capisco se sto sbagliando effettivamente qualcosa dato che mi viene fuori un'equazione chilometrica a cui non riesco ad applicare l'identità dei polinomi per poterla risolvere.
Questo è quello che mi viene fuori:
$[-Asin(t)e^(3t) - Asin(t)3e^(3t) - Asin(t)3e^(3t) + Acos(t)9e^(3t) - Bsin(t)e^(3t) + Bcos(t)3e^(3t) + Bcos(t)3e^(3t) + Bcos(t)3e^(3t) + Bsin(t)9e^(3t)] + 2[-Asin(t)e^(3t) + Acos(t)3e^(3t) + Bcos(t)e^(3t) + Bsin(t)3e^(3t)] + [Acos(t)e^(3t) + Bsin(t)e^(3t)] = sin(t)e^(3t) $
Principalmente non ho ben chiaro come applicare l'identità dei polinomi in generale, ma quest'equazione allo stesso tempo non mi sta proprio aiutando..
$y''(t) + 2y'(t) + y(t) = sin(t) e^(3t)$ con $y(0) = 1$ e $y'(0)=0$
Svolgo la parte omogenea che, dato il risultato dell'associata uguale $-1$ con molteplicità 2, dovrebbe essere nella forma:
$y(t) = C1 e^(-t) + C2te^(-t)$
Quindi con il metodo di somiglianza cerco l'equazione particolare nella forma:
$Acos(t)e^(3t) + Bsin(t)e^(3t)$
A questo punto dovrei derivare fino alla derivata seconda e sostituire poi nell'equazione originale, ma non capisco se sto sbagliando effettivamente qualcosa dato che mi viene fuori un'equazione chilometrica a cui non riesco ad applicare l'identità dei polinomi per poterla risolvere.
Questo è quello che mi viene fuori:
$[-Asin(t)e^(3t) - Asin(t)3e^(3t) - Asin(t)3e^(3t) + Acos(t)9e^(3t) - Bsin(t)e^(3t) + Bcos(t)3e^(3t) + Bcos(t)3e^(3t) + Bcos(t)3e^(3t) + Bsin(t)9e^(3t)] + 2[-Asin(t)e^(3t) + Acos(t)3e^(3t) + Bcos(t)e^(3t) + Bsin(t)3e^(3t)] + [Acos(t)e^(3t) + Bsin(t)e^(3t)] = sin(t)e^(3t) $
Principalmente non ho ben chiaro come applicare l'identità dei polinomi in generale, ma quest'equazione allo stesso tempo non mi sta proprio aiutando..
Risposte
"Wookietookie":
Principalmente non ho ben chiaro come applicare l'identità dei polinomi in generale, ma quest'equazione allo stesso tempo non mi sta proprio aiutando..
Ciao.
Non ho controllato i conti, ma, al di là di questo, si procede nel seguente modo: hai, in sostanza, ottenuto (dopo aver effettuato qualche riduzione di termini simili e dopo aver raccolto a fattor comune $e^(3t)$) una forma di questo genere:
$e^(3t)*[Kcos(t)+Hsin(t)]=sin(t)*e^(3t)$
dove $H$ e $K$ sono espressioni dipendenti dalle costanti $A$ e $B$.
A questo punto basta richiedere che $K=0$ e $H=1$; in sostanza si ottiene un sistema a due equazioni e due incognite, con incognite $A$ e $B$ da ricavare.
Saluti.
Grazie della risposta!
Non capisco però cosa mettere nel sistema. Devo farlo tipo:
$Kcos(t)e^(3t) = 0$ e $Hsin(t)e^(3t) = 1$ ?
Non capisco però cosa mettere nel sistema. Devo farlo tipo:
$Kcos(t)e^(3t) = 0$ e $Hsin(t)e^(3t) = 1$ ?
Ciao.
Devi mettere a sistema proprio quello che avevo scritto prima, cioè:
${(K=K(A,B)=0),(H=H(A,B)=1):}$
e ricavare $A$ e $B$.
Saluti.
Devi mettere a sistema proprio quello che avevo scritto prima, cioè:
${(K=K(A,B)=0),(H=H(A,B)=1):}$
e ricavare $A$ e $B$.
Saluti.
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