Identità... assurda

[Principe2]

Il prof ha dato da verificare la seguente identità sotto sole ipotesi di regolarità $C^2$ di una funzione $u:\bar{B_r}->R$,
dove al solito $B_r$ denota la palla aperta di raggio $r$ e centro $0$ in $R^N$.

$u(0)=1/(N\omega_N)(1/(R^{N-1})\int_{S_R}ud\sigma-1/(N-2)\int_{B_r}(1/(||x||^{N-2})-1/(R^{N-2}))\Delta u(x)dx)$

dove: $\omega_N$ denota il volume della palla unitaria $N$-dimensionale e $S_r$ la superficie sferica unitaria $N$-dimensionale...

Perchè è assurda questa uguaglianza?
sia $N=3$ e $r=1$ e $u(x,y,z)=x^2+1$, che verifica le ipotesi e $\Delta u(x)=2$ e $u(0)=1$....
ma un attimo di osservazione mostra che il secondo membro è divergente!! infatti:

1) $\int_{S_r}ud\sigma$ è un numero.
2) a meno di costanti "qua e là" il secondo integrale si riduce a $\int_{B_r}1/(||x||)dx$, che diverge!!!!

pareri?

[irenze]

Ci ho dovuto pensare un po'... ma quell'integrale NON diverge!!! Sei in dimensione 3!!!
In generale, in dimensione N, $\int_{B_r}||x||^{-\alpha}$ converge se e solo se $\alpha Ad esempio in dimensione 2 possiamo dimostrare che $\int_{B_r}1/{||x||^{\alpha}}$ è convergente per ogni $\alpha<2$:
usando la disuguaglianza $||(x,y)||^2=x^2+y^2\ge 2|x| |y|$, otteniamo una maggiorazione dell'integrale precedente con il prodotto di due integrali del tipo $\int_0^r 1/{|x|^{\alpha/2}}$, che convergono, essendo $\alpha/2<1$.
Questo procedimento si può ovviamente generalizzare...