Identità approssimate - Analisi di Fourier
Salve a tutti,
Vi chiedo aiuto per un esercizio che non riesco a svolgere del corso di Analisi di Fourier.
ES: Costruire un esempio di Identità Approssimata (abbrevio con IA).
Io so che un'IA è una successione di funzioni $(u_{n})_{n\in N}$ in $L^{1}$ di periodo $2\pi$ tale che valgano le seguenti cose:
1) esiste M tale che $\|u_{n}\|_{1}< M$ per ogni n,
2) $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} u_{n}dx=1$ per ogni n,
3) per ogni $\delta\in (0,2\pi)$ $lim_{n} \int_{\delta<|x|<\pi} |u_{n}|dx=0$
Solo che partendo da questo non so proprio come trovarla. So anche che i nuclei di Fejer e di Poisson sono IA mentre quello di Dirichlet no, e so dimostrare tutte e tre le cose, ma tutto ciò non mi porta a inventarmene una.
Ad esempio pensavo: deve per forza essere un polinomio trigonometrico (come Fejer e Poisson)? Questo comunque non mi garantisce nulla perchè anche Dirichlet è polinomio trigonometrico ma non IA perchè la sua norma 1 non è limitata (va tipo come log n).
Quindi? Sto buttando giù successioni ma la 2) non riesco a ottenerla e la 3) neppure. Posso partire dal nucleo di Dirichlet e modificarlo in qualche modo?
Vi ringrazio, ci sto pensando da due giorni e non riesco a tirare fuori nulla! E' come se mi mancasse una proprietà "sufficiente" perchè sia un' IA, ma su tutti i teoremi che abbiamo fatto non ho trovato nulla.
Grazie ancora!
Vi chiedo aiuto per un esercizio che non riesco a svolgere del corso di Analisi di Fourier.
ES: Costruire un esempio di Identità Approssimata (abbrevio con IA).
Io so che un'IA è una successione di funzioni $(u_{n})_{n\in N}$ in $L^{1}$ di periodo $2\pi$ tale che valgano le seguenti cose:
1) esiste M tale che $\|u_{n}\|_{1}< M$ per ogni n,
2) $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} u_{n}dx=1$ per ogni n,
3) per ogni $\delta\in (0,2\pi)$ $lim_{n} \int_{\delta<|x|<\pi} |u_{n}|dx=0$
Solo che partendo da questo non so proprio come trovarla. So anche che i nuclei di Fejer e di Poisson sono IA mentre quello di Dirichlet no, e so dimostrare tutte e tre le cose, ma tutto ciò non mi porta a inventarmene una.
Ad esempio pensavo: deve per forza essere un polinomio trigonometrico (come Fejer e Poisson)? Questo comunque non mi garantisce nulla perchè anche Dirichlet è polinomio trigonometrico ma non IA perchè la sua norma 1 non è limitata (va tipo come log n).
Quindi? Sto buttando giù successioni ma la 2) non riesco a ottenerla e la 3) neppure. Posso partire dal nucleo di Dirichlet e modificarlo in qualche modo?
Vi ringrazio, ci sto pensando da due giorni e non riesco a tirare fuori nulla! E' come se mi mancasse una proprietà "sufficiente" perchè sia un' IA, ma su tutti i teoremi che abbiamo fatto non ho trovato nulla.
Grazie ancora!
Risposte
Mi vengono un paio di idee indipendenti, spero ti possano servire.
1. Prova a lavorare nello spazio delle frequenze invece che nello spazio fisico. Essenzialmente tu stai cercando una successione di funzioni $u_n$ tale che $u_n\ast f(x)\to f(x)$ per ogni funzione continua $f$. A livello di serie di Fourier questo corrisponde a cercare una successione di funzioni tale che $\hat{u}_n(k)\hat{f}(k)\to \hat{f}(k)$ (queste convergenze si intendono in qualche senso che non specifichiamo - adesso non è il momento di pensare ai dettagli, stiamo solo facendo un discorso euristico). Quindi una idea è di cercare una successione di funzioni $\hat{u}_n(k)$ tale che
\[\hat{u}_n(k)\to 1\qquad \forall k\in\mathbb Z\]
e considerare $u_n(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat{u}_n(k)e^{ikx}, $ sperando che questa abbia le proprietà volute.
Prova a considerare successioni $\hat{u}_n(k)$ che decadono molto rapidamente in $k$, così non hai problemi di convergenza della serie. Un decadimento esponenziale mi sembra adeguato.
-------------
2. Il problema analogo su $RR$ ha una soluzione molto più facile: basta prendere una funzione
\[
\phi(x)\ge 0 \qquad x\in\mathbb R\]
e tale che \(\int_{\mathbb R} \phi(x)\, dx =1\), perché la successione
\[
\phi_n(x)= n\phi(nx)\]
sia una identità approssimata. (La definizione di "identità approssimata" su $RR$ è formalmente la stessa: una successione $\phi_n$ tale che 1) $\int_RR \phi_n dx =1$; 2) \(\| \phi_n\|_{L^1(\mathbb R)}\le C\); 3) \(\int_{|x|\ge \delta} |\phi_n(x)|\, dx \to 0\).)
Perciò, potrebbe essere una idea valida il cercare di trovare un modo per ottenere identità approssimate sulla circonferenza trigonometrica partendo da identità approssimate su $RR$. In generale, data una funzione \(\phi\colon \mathbb R\to \mathbb R\), la formula
\[
u(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \phi(x+2\pi k)\]
ammesso che la serie sia convergente, definisce una funzione $2\pi$-periodica. Potrebbe essere il caso che, data una identità approssimata $\phi_n$ su $RR$, questa formula restituisca una identità approssimata sulla circonferenza trigonometrica.
In questo caso non occorre neanche ragionare in astratto. Io considererei la funzione Gaussiana
\[
\phi(x)=e^{-\pi x^2}\]
e vedrei cosa salta fuori se applico la costruzione di sopra. Un'altra possibilità è
\[
\phi(x)=\frac12 e^{-|x|}.\]
1. Prova a lavorare nello spazio delle frequenze invece che nello spazio fisico. Essenzialmente tu stai cercando una successione di funzioni $u_n$ tale che $u_n\ast f(x)\to f(x)$ per ogni funzione continua $f$. A livello di serie di Fourier questo corrisponde a cercare una successione di funzioni tale che $\hat{u}_n(k)\hat{f}(k)\to \hat{f}(k)$ (queste convergenze si intendono in qualche senso che non specifichiamo - adesso non è il momento di pensare ai dettagli, stiamo solo facendo un discorso euristico). Quindi una idea è di cercare una successione di funzioni $\hat{u}_n(k)$ tale che
\[\hat{u}_n(k)\to 1\qquad \forall k\in\mathbb Z\]
e considerare $u_n(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat{u}_n(k)e^{ikx}, $ sperando che questa abbia le proprietà volute.
Prova a considerare successioni $\hat{u}_n(k)$ che decadono molto rapidamente in $k$, così non hai problemi di convergenza della serie. Un decadimento esponenziale mi sembra adeguato.
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2. Il problema analogo su $RR$ ha una soluzione molto più facile: basta prendere una funzione
\[
\phi(x)\ge 0 \qquad x\in\mathbb R\]
e tale che \(\int_{\mathbb R} \phi(x)\, dx =1\), perché la successione
\[
\phi_n(x)= n\phi(nx)\]
sia una identità approssimata. (La definizione di "identità approssimata" su $RR$ è formalmente la stessa: una successione $\phi_n$ tale che 1) $\int_RR \phi_n dx =1$; 2) \(\| \phi_n\|_{L^1(\mathbb R)}\le C\); 3) \(\int_{|x|\ge \delta} |\phi_n(x)|\, dx \to 0\).)
Perciò, potrebbe essere una idea valida il cercare di trovare un modo per ottenere identità approssimate sulla circonferenza trigonometrica partendo da identità approssimate su $RR$. In generale, data una funzione \(\phi\colon \mathbb R\to \mathbb R\), la formula
\[
u(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty \phi(x+2\pi k)\]
ammesso che la serie sia convergente, definisce una funzione $2\pi$-periodica. Potrebbe essere il caso che, data una identità approssimata $\phi_n$ su $RR$, questa formula restituisca una identità approssimata sulla circonferenza trigonometrica.
In questo caso non occorre neanche ragionare in astratto. Io considererei la funzione Gaussiana
\[
\phi(x)=e^{-\pi x^2}\]
e vedrei cosa salta fuori se applico la costruzione di sopra. Un'altra possibilità è
\[
\phi(x)=\frac12 e^{-|x|}.\]
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