Idea sulla continuità

[qwertyuio1]

Mi è venuta questa idea, che intuitivamente mi pare molto sensata, ma che non riesco a dimostrare:
se una funzione f definita su un intervallo di R è continua in un punto x, allora è continua su tutto un intervallo contenente x
(versione multi-dimesionale: se una funzione f definita su un aperto O di R^n è continua in un punto x di O, allora è continua su tutto un disco centrato in x e contenuto in O).
E' vero?

[dissonance]

No è falso. Esempio: $f(x)={(x^2, x\inQQ),(0, x\notinQQ):}$. Questa funzione è continua solo nello 0 e in nessun altro punto.

[qwertyuio1]

Grazie! Mi hai tolto un dubbio e evitato una perdita di tempo!

[dissonance]

Prego, figurati. Era un dubbio che ho avuto a lungo anche io. Quell'esempio è carino perché si tratta di una funzione non solo continua ma anche derivabile in $0$ e in nessun altro punto. La conclusione che ne possiamo trarre è: di continuità e derivabilità in punti isolati non ce ne facciamo un bel niente.