I rettangoli come unici intervalli chiusi di \( \mathbb{R}^n \)

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
propongo una questione non banale (almeno, così pare).

Un intervallo di \( \mathbb{R}^n \) è un qualunque sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) che si scrive come prodotto cartesiano di intervalli di \( \mathbb{R} \).

In giro trovo che si dice intervallo chiuso di \( \mathbb{R}^n \) un qualunque insieme del tipo
\[ [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \]
Da una definizione di questo tipo sembrerebbe che tutti gli intervalli chiusi di \( \mathbb{R}^n \) (cioè sottoinsiemi di \( \mathbb{R}^n \) che sono intervalli e allo stesso tempo sono anche insiemi chiusi) si possono scrivere come prodotto cartesiano di intervalli chiusi di \( \mathbb{R} \), cosa che per me non è così scontata.

Qualcuno sa come dimostrare che ogni intervallo chiuso di \( \mathbb{R}^n \) si può scrivere come prodotto cartesiano di intervalli chiusi di \( \mathbb{R} \)?

[vict85]

Quale definizioni usi di intervallo?

[Riccardo Desimini]

Le mie definizioni sono queste:

Intervallo di \( \mathbb{R} \): sottoinsieme \( I \) di \( \mathbb{R} \) tale che, presi due suoi elementi qualunque \( a \) e \( b \), si ha che \( \lbrace c \in \mathbb{R} : a \le c \le b \rbrace \subseteq I \).

Intervallo di \( \mathbb{R}^n \): sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) che si scrive come prodotto cartesiano di intervalli di \( \mathbb{R} \).

[gugo82]

La definizione di intervallo è la seguente.

Si chiama intervallo (della retta reale) un qualsiasi insieme \(I\subseteq \mathbb{R}\) che gode della seguente proprietà:

"se \(x_1
In particolare \(\varnothing\) è un intervallo (detto intervallo degenere) ed \(\mathbb{R}\) è un intervallo.

[La definizione si può riscrivere in termini topologici: si chiamano intervalli tutti e soli gli insiemi connessi di \(\mathbb{R}\).]



Se \(I\) è un intervallo non degenere, i due elementi \(\sup I\) ed \(\inf I\) si chiamano estremi dell'intervallo, superiore il primo, inferiore il secondo.
Per indicare il generico intervallo di estremi \(a=\inf I\) e \(b=\sup I\) si usa il simbolo \((a,b)\).

Se \(I\) è un intervallo non degenere, esso è detto nonlimitato se \(\sup I=+\infty\) o se \(\inf I=-\infty\); altrimenti l'intervallo è detto limitato.

Se \(\sup I\) è [risp. non è] un elemento di \(I\), l'intervallo è detto superiormente chiuso [risp. superiormente aperto]; se \(\inf I\) è [risp. non è] un elemento di \(I\), l'intervallo è detto inferiormente chiuso [risp. inferiormente aperto].
Un intervallo che sia contemporaneamente chiuso [risp. aperto] sia inferiormente sia superiormente è detto intervallo chiuso [risp. aperto].


Da ciò seguono vari fatti...
Ad esempio, un intervallo chiuso è un insieme individuato da disuguaglianze del tipo \(a\leq x\), \(x\leq b\) o \(a\leq x\leq b\) con \(a,b\in \mathbb{R}\) (ed \(a\leq b\) nel terzo caso); mentre un intervallo aperto è individuato da limitazioni del tipo \(a
In \(\mathbb{R}^N\) non è possibile dare la definizione di intervallo usando la connessione, poiché gli insiemi connessi di \(\mathbb{R}^N\) sono "troppi".
Allora si preferisce dare la definizione in maniera ricorsiva, i.e. un intervallo di \(\mathbb{R}^N\) con \(N\geq 2\) è ogni insieme che si ottiene come prodotto cartesiano di un intervallo di \(\mathbb{R}^{N-1}\) ed un intervallo di \(\mathbb{R}\).

[vict85]

Su \(\mathbb{R}^n\) introduciamo un ordine parziale \(\displaystyle \preceq \) definito come \(\displaystyle \mathbf{a}\preceq \mathbf{b} \) se e solo se \(\displaystyle a_i\le b_i \) per ogni \(\displaystyle i \). Grazie a questo ordine parziale puoi definire gli intervalli su \(\mathbb{R}^n\) usando la stessa definizione usata da Gugo.

In modo totalmente topologico, il legame tra intervalli di \(\mathbb{R}\) e quelli di \(\mathbb{R}^n\) risiede nel fatto che \(\mathbb{R}^n\) possiede la topologia prodotto.

P.S.: Modificato dopo la lettura del post di Gugo

[gugo82]

@ vict85: L'ordine parziale vettoriale è una cosa che sottovaluto sempre... Grazie per avermi fatto riflettere sulla cosa.

[vict85]

Prego.

[Riccardo Desimini]

Approfitto della situazione per chiarirmi un dubbio.

Ma quando io parlo di intervallo chiuso/aperto, gli aggettivi chiuso e aperto fanno riferimento al fatto che quegli intervalli sono insiemi chiusi/aperti rispetto alla topologia?

P.S.: ma quindi le definizioni che ho dato io di intervallo vanno bene o no?

[gugo82]

All'inizio non necessariamente.
Ma appena introduci la topologia naturale riesci a provare che un intervallo chiuso [risp. aperto] è chiuso [risp. aperto] rispetto alla topologia introdotta, sicché puoi fare confusione.

[Riccardo Desimini]

A questo punto si pone in maniera naturale il problema seguente:

Cos'è un intervallo chiuso in \( \mathbb{R}^n \)?

Con questa domanda, ritorniamo di più al tema di questo thread.

[gugo82]

"gugo82":In \(\mathbb{R}^N\) non è possibile dare la definizione di intervallo usando la connessione, poiché gli insiemi connessi di \(\mathbb{R}^N\) sono "troppi".
Allora si preferisce dare la definizione in maniera ricorsiva, i.e. un intervallo di \(\mathbb{R}^N\) con \(N\geq 2\) è ogni insieme che si ottiene come prodotto cartesiano di un intervallo di \(\mathbb{R}^{N-1}\) ed un intervallo di \(\mathbb{R}\).

Il che significa che un intervallo non vuoto di \(\mathbb{R}^2\) è una roba del tipo \((a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\), un intervallo di \(\mathbb{R}^3\) è una roba del tipo \((a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\), ..., un intervallo di \(\mathbb{R}^N\) è una roba del tipo \((a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times \cdots \times (a_N,b_N)\), etc...

Un intervallo aperto [risp. chiuso] di \(\mathbb{R}^N\) è un prodotto di intervalli aperti [risp. chiusi], etc... E si vede che gli intervalli aperti [risp. chiusi] sono insiemi topologicamente aperti [risp. chiusi], una volta introdotta la topologia naturale.

Quindi dov'è il problema?

[Riccardo Desimini]

Quel che non ho ancora capito è se esistono intervalli di \( \mathbb{R}^n \) che sono topologicamente chiusi senza che siano prodotto cartesiano di intervalli chiusi.