I primi integrali

[laska1]

Buonasera,

come si evince dal titolo sono alle prese con i primissimi calcoli di integrali.
In particolare il seguente integrale viene svolto così dal mio professore:

$_int1/(cos^4x)dx=_int(sin^2x+cos^2x)/(cos^4x)dx=_inttan^2x*1/(cos^2x)dx+_int1/(cos^2x)dx=1/3tan^3x+tanx+c$

Non capisco come il professore giunga al risultato $1/3tan^3x$ da $_inttan^2x*1/(cos^2x)$



Attendo suggerimenti

[sheldon1]

qual'è la derivata della tangente? i su coseno quadro quindi qua hai integrale di tipo f(x)^n*f ' (x) capito?

[laska1]

e il fattore $1/3$? Cioè quali sono i passaggi matematici? Perdona la cocciutaggine!

[sheldon1]

l'integrale di x^2 qual è? 1/3 x^3 giusto? 1/3 deriva dal fatto che se derivi 1/3 e 3 si cancellano e rimane solo x^3 ok? fin qui ci sei? la formula per integrazione di funzioni è f(x)^n * f ' (x)= f(x)^(n+1)/(n+1) capito? quindi ad esempio nel caso di x^2 la derivata ce l'hai ed e uno nel tuo caso la derivata di tangente è uno su coseno al quadrato e ce l'hai e quindi 'integrale sara tan^3 /3 capito?

[sheldon1]

se non hai capito vedilo come un integrale per sostituzione, metti z=tan(x) quindi dz=1 su cos^2(x) dx e quindi lintegrale diventa integrale di z^2 che è 1/3 z^3 ok? ci sei?

[laska1]

Grazie Sheldon! Con la tua ultima spiegazione ho capito!

[sheldon1]

figurati

[laska1]

Approfitto di questo post, senza aprirne un altro che fondamentalmente espone dubbi simili.
Mi trovo di fronte al seguente integrale $_int(x+2)/(2x-3)dx$.
Espongo il modo in cui ho pensato di risolverlo.
Lo scrivo come $_intx/(2x-3)+_int2/(2x-3)$
Ma come risolvo il primo integrale? Al denominatore ho $_int1/(2x-3)$ che è la derivata di $1/2log|2x-3|$ ma la $x$ poi come la tratto?

[chiaraotta1]

$(x+2)/(2x-3)=7/2*1/(2x - 3)+ 1/2$

[laska1]

grazie per la risposta...Ho capito ieri sera in seguito come trattarlo, grazie lo stesso.