I flessi verticali non rendono una curva non regolare?
Sto cercando di capire se posso ottenere una "regoletta" per sapere se una curva parametrizzata non è regolare solo guardando il grafico nel piano cartesiano.
(il sostegno di) una curva parametrizzata $\vec r (t) $ è una funzione continua quindi salti finiti, infiniti e lacune non ci saranno mai; il problema pare esserci con le tangenti verticali; ho provato a ipotizzare una curva $x=root(3)(y)$ (girando la cubica) e parametrizzarla come $\vec r (t) = t \vec i + root(3)(t) \vec j$ ; essa ha un flesso nell'origine ma la sua derivata non si annulla mai (+parametriz. continua) quindi mi pare di poter dire che è una curva regolare.
Per cui se dovessi cercare una regoletta che mi fa dire solo guardando il grafico che una curva (in 2D) non è regolare, devo solo vedere se ci sono cuspidi o no; non esistono altre condizioni grafiche che mi fan dire questa curva non è regolare giusto?
(il sostegno di) una curva parametrizzata $\vec r (t) $ è una funzione continua quindi salti finiti, infiniti e lacune non ci saranno mai; il problema pare esserci con le tangenti verticali; ho provato a ipotizzare una curva $x=root(3)(y)$ (girando la cubica) e parametrizzarla come $\vec r (t) = t \vec i + root(3)(t) \vec j$ ; essa ha un flesso nell'origine ma la sua derivata non si annulla mai (+parametriz. continua) quindi mi pare di poter dire che è una curva regolare.
Per cui se dovessi cercare una regoletta che mi fa dire solo guardando il grafico che una curva (in 2D) non è regolare, devo solo vedere se ci sono cuspidi o no; non esistono altre condizioni grafiche che mi fan dire questa curva non è regolare giusto?
Risposte
La regolarità di una curva dipende dalla parametrizzazione che ne dai.
Ad esempio la curva parametrizzata continua $t mathbf(i) + root(3)(t) mathbf(j)$ non è regolare (perché non è derivabile in $t=0$), però la curva parametrizzata continua $t^3 mathbf(i) + t mathbf(j)$ -il cui sostegno coincide con quello della precedente- lo è.
Quindi flesso o non flesso, devi andare a vedere cosa succede.
Ad esempio la curva parametrizzata continua $t mathbf(i) + root(3)(t) mathbf(j)$ non è regolare (perché non è derivabile in $t=0$), però la curva parametrizzata continua $t^3 mathbf(i) + t mathbf(j)$ -il cui sostegno coincide con quello della precedente- lo è.
Quindi flesso o non flesso, devi andare a vedere cosa succede.
vero la mia parametrizzazione non va bene; per semplicità mi sto riferendo in realtà a $ y=root(3)(x) $
il libro che ho come definizione di curva regolare dice che: una curva è regolare se esiste almeno una parametrizzazione con componenti continue e derivate continue, e il modulo della sua derivata è diverso da zero (o derivata diversa dal vettor nullo);
Se la curva "cubica girata" ammette la parametrizzazione $ t^3 mathbf(i) + t mathbf(j) $ che soddisfa questa definizione però è corretto dire che questa curva è regolare?
il libro che ho come definizione di curva regolare dice che: una curva è regolare se esiste almeno una parametrizzazione con componenti continue e derivate continue, e il modulo della sua derivata è diverso da zero (o derivata diversa dal vettor nullo);
Se la curva "cubica girata" ammette la parametrizzazione $ t^3 mathbf(i) + t mathbf(j) $ che soddisfa questa definizione però è corretto dire che questa curva è regolare?
Secondo te?
Secondo me si è regolare, quindi non è vero che se vedo il grafico 2D di una curva con un flesso verticale o anche una tangente verticale posso dire subito che non è regolare. L'unico elemento grafico che mi fa dire subito a priori senza sapere nulla che la curva NON è regolare è se vedo una cuspide o un punto angoloso. Corretto?
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