$I_1= int_(-oo )^(oo ) e^{ix} /(x^3+1) dx$ come risolverlo?
Salve a tutti!
Oggi mi sono imbattuto in un esercizio su integrali complessi, che dunque penso debba richiedere quantomeno l'utilizzo dei residui e/o del lemma di Jordan, tuttavia sono stato assalito da un dubbio e non riesco ad andare avanti, riporto di seguito l'esercizio:
Si risolvano i seguenti integrali:
$I_1= int_(-oo )^(oo ) e^{ix} / (x^3+1) dx $ e $I_2= int_(-oo )^(oo ) e^{-ix} / (x^3+1) dx $
A primo acchitto mi verrebbe da applicare il lemma di Jordan, ma sorge un problema: la singolarità $x_0=-1$ si trova lungo l'intervallo di integrazione...che fare? E' corretto "chiudere"* nel semipiano $Im(z)>0$ (dove $z$ è la variabile complessa della stessa $f$ integranda) considerando dunque l'integrale come somma dei residui a parte immaginaria positiva, calcolati nei punti singolari della $f$? Ma cosa fare con $x_0$? Considerarlo o no?. Usare i cambi di variabile? non credo...il fatto poi che i due integrali siano riportati nello stesso esercizio mi suggerisce che ci sia un modo particolarmente semplice per risolverli entrambi...Qualche idea?
*Per "chiudere" intendo applicare il lemma di Jordan considerando l'integrale su $ RR $ come differenza di un integrale chiuso e quello calcolato lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e percorsa in senso antiorario nel semipiano $Im(z)>0$, di raggio via via più grande.
Oggi mi sono imbattuto in un esercizio su integrali complessi, che dunque penso debba richiedere quantomeno l'utilizzo dei residui e/o del lemma di Jordan, tuttavia sono stato assalito da un dubbio e non riesco ad andare avanti, riporto di seguito l'esercizio:
Si risolvano i seguenti integrali:
$I_1= int_(-oo )^(oo ) e^{ix} / (x^3+1) dx $ e $I_2= int_(-oo )^(oo ) e^{-ix} / (x^3+1) dx $
A primo acchitto mi verrebbe da applicare il lemma di Jordan, ma sorge un problema: la singolarità $x_0=-1$ si trova lungo l'intervallo di integrazione...che fare? E' corretto "chiudere"* nel semipiano $Im(z)>0$ (dove $z$ è la variabile complessa della stessa $f$ integranda) considerando dunque l'integrale come somma dei residui a parte immaginaria positiva, calcolati nei punti singolari della $f$? Ma cosa fare con $x_0$? Considerarlo o no?. Usare i cambi di variabile? non credo...il fatto poi che i due integrali siano riportati nello stesso esercizio mi suggerisce che ci sia un modo particolarmente semplice per risolverli entrambi...Qualche idea?
*Per "chiudere" intendo applicare il lemma di Jordan considerando l'integrale su $ RR $ come differenza di un integrale chiuso e quello calcolato lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e percorsa in senso antiorario nel semipiano $Im(z)>0$, di raggio via via più grande.
Risposte
Aggiungo...WolframAlpha suggerisce che questi integrali non convergono...sapreste spiegarmi il perchè?
Un cambio di variabile non risolverebbe certo il problema. In questi casi solitamente si circuita la singolarità, di fatto se hai:
$ \Omega = ]-R, R[ cup Gamma_R $
Se in $[-R, R]$ hai una discontinuità, devi considerare:
$ \Omega = ]-R, -1-epsilon[ cup gamma_epsilon cup ]-1+epsilon, R[ cup Gamma_R $.
Considerando $gamma_epsilon$ una semicirconferenza giacente nel 2° quadrante ( $Im(z)>0$ ) di apertura $pi$. Fai tendere $epsilon$ a 0, ed applichi il lemma del piccolo cerchio. ( Naturalmente l'angolo in questo caso è $pi$ ).
( Naturalmente oltre a $epsilon ->0$, hai $R->+oo$, per cui per l'integrale su $Gamma_R$ userai il lemma di Jordan o del cerchio grande ).
$ \Omega = ]-R, R[ cup Gamma_R $
Se in $[-R, R]$ hai una discontinuità, devi considerare:
$ \Omega = ]-R, -1-epsilon[ cup gamma_epsilon cup ]-1+epsilon, R[ cup Gamma_R $.
Considerando $gamma_epsilon$ una semicirconferenza giacente nel 2° quadrante ( $Im(z)>0$ ) di apertura $pi$. Fai tendere $epsilon$ a 0, ed applichi il lemma del piccolo cerchio. ( Naturalmente l'angolo in questo caso è $pi$ ).
( Naturalmente oltre a $epsilon ->0$, hai $R->+oo$, per cui per l'integrale su $Gamma_R$ userai il lemma di Jordan o del cerchio grande ).
Quando ci sono singolarità di quel tipo sull'asse reale l'integrale non converge (né secondo Riemann nè secondo Lebesque). Se però il polo è semplice si può considereare l'integrale nel senso del valore principale, che nel tuo esempio sarebbe
$(v.p.)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx=\lim_{\epsilon\to0}(\int_{-\infty}^{-1-\epsilon}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx+\int_{-1+\epsilon}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx)$
(che si può estendere in maniera analoga se c'è più di una singolarità: l'importante è togliere un intorno simmetrico).
Vale allora una formula che segue dal teorema dei residui in cui i poli sul cammino di integrazione contano per metà: nel tuo caso hai
$(v.p.)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx=i\pi Res(-1)+2i\pi Res(1/2+\sqrt{3}i)$
EDIT Per verificare quanto scritto sopra si ragiona come è stato detto nel messaggio precedente.
$(v.p.)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx=\lim_{\epsilon\to0}(\int_{-\infty}^{-1-\epsilon}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx+\int_{-1+\epsilon}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx)$
(che si può estendere in maniera analoga se c'è più di una singolarità: l'importante è togliere un intorno simmetrico).
Vale allora una formula che segue dal teorema dei residui in cui i poli sul cammino di integrazione contano per metà: nel tuo caso hai
$(v.p.)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^3+1}dx=i\pi Res(-1)+2i\pi Res(1/2+\sqrt{3}i)$
EDIT Per verificare quanto scritto sopra si ragiona come è stato detto nel messaggio precedente.
Grazie pater46, grazie ViciousGoblin la risoluzione mi convince...ma guardiamola da un'altro punto di vista...supponiamo che io non conosca la definizione di valore principale (effettivamente non fa parte del programma del corso a cui appartiene questo esercizio)...posso dire immediatamente che l'integrale non converge, come hai detto tu all'inizio ViciousGoblin. Potresti spiegarmi come sei arrivato a questa conclusione? Sembrerò banale ma...i suddetti integrali non convergono perchè il modulo dell'integranda è un infinito del terz'ordine in $x=-1$? Lo dico solo per reminescenze dal corso d'analisi1, ma non so se è giusto. Non ricordo come sono collegati integrale del modulo e modulo dell'integrale...
Scusa, ma come è possibile che nel corso di Analisi Complessa non ti sia stato accennato al valore principale?
Quasi la metà degli integrali che si calcolano coi residui sono di quel tipo...
Se ti chiedi perchè, qualcosa l'ho scritta qui.
Quasi la metà degli integrali che si calcolano coi residui sono di quel tipo...
Se ti chiedi perchè, qualcosa l'ho scritta qui.
"calolillo":
Grazie pater46, grazie ViciousGoblin la risoluzione mi convince...ma guardiamola da un'altro punto di vista...supponiamo che io non conosca la definizione di valore principale (effettivamente non fa parte del programma del corso a cui appartiene questo esercizio)...posso dire immediatamente che l'integrale non converge, come hai detto tu all'inizio ViciousGoblin. Potresti spiegarmi come sei arrivato a questa conclusione? Sembrerò banale ma...i suddetti integrali non convergono perchè il modulo dell'integranda è un infinito del terz'ordine in $x=-1$? Lo dico solo per reminescenze dal corso d'analisi1, ma non so se è giusto. Non ricordo come sono collegati integrale del modulo e modulo dell'integrale...
Se hai una funzione razionale $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ($P$ e $Q$ polinomi) e se $x_0$ annulla il denominatore (e non il numeratore - se no fai la divisione) allora puoi scrivere
$f(x)=g(x)/(x-x_0)^m$ dove $g(x)$ è regolare e non nulla vicino a $x_0$ e $m\geq1$ è la molteplicità della radice. Allora l'integrabilità in senso improprio vicino a $x_0$ della
$f(x)$ equivale, per un criterio di confronto, all'integrabilità di $\frac{1}{(x-x_0)^m}$. Quelst'ultima NON E' MAI integrabile dato che $m\geq1$ (per l'integrabilità in senso improprio ci vorrebbe $m<1$). Nel tuo caso c'era anche l'esponenziale che non si annulla mai e quindi la situazione non cambia.,In realtà, in certi casi l'esponenziale potrebbe rendere integrabile la parte reale della funzione o la parte immaginaria, nel caso $e^{ix_0}$ abbia parte reale o parte immaginaria nulla.
Hai ragione gugo...diciamo che il prof ci ha presentato questa parte come "dategli una lettura non ci occuperemo di questi integrali in generale" quindi sembra impensabile che venga proposto un esercizio d'esame, qual è quello di cui stiamo parlando, che richiami questo argomento. Credo che in questo esercizio venga richiesta allo studente la capacità di riconoscere immediatamente se questo integrale NON converge...se poi converge è un altro paio di maniche. Quello che mi chiedo adesso è: come mostrarne la NON convergenza?
So ad esempio che $ | int_(-oo)^(oo) e^(ix)/(x^3+1)dx |leq int_(-oo)^(oo) |e^(ix)/(x^3+1)|dx = int_(-oo)^(oo) 1/(x^3+1)dx $
ma ciò è utile se l'integrale converge. Se, come in questo caso diverge, come trovo un integrale divergente che sia maggiorato da $| int_(-oo)^(oo) e^(ix)/(x^3+1)dx |$ ?
So ad esempio che $ | int_(-oo)^(oo) e^(ix)/(x^3+1)dx |leq int_(-oo)^(oo) |e^(ix)/(x^3+1)|dx = int_(-oo)^(oo) 1/(x^3+1)dx $
ma ciò è utile se l'integrale converge. Se, come in questo caso diverge, come trovo un integrale divergente che sia maggiorato da $| int_(-oo)^(oo) e^(ix)/(x^3+1)dx |$ ?
"ViciousGoblin":
l'integrabilità in senso improprio vicino a $x_0$ della
$f(x)$ equivale, per un criterio di confronto, all'integrabilità di $\frac{1}{(x-x_0)^m}$. Quelst'ultima NON E' MAI integrabile dato che $m\geq1$ (per l'integrabilità in senso improprio ci vorrebbe $m<1$)
Perfetto, "a memoria" andavo bene quindi...ma se volessi verificare questo criterio, come faccio a usare il criterio del confronto? Cioè, con quale $g(x)$ confronto la $f(x)$ in modo che $ g(x) <= f(x) rArr |int_(-oo)^(oo) g(x)dx |<= |int_(-oo)^(oo) f(x)dx | $ ?
"calolillo":
[quote="ViciousGoblin"]l'integrabilità in senso improprio vicino a $x_0$ della
$f(x)$ equivale, per un criterio di confronto, all'integrabilità di $\frac{1}{(x-x_0)^m}$. Quelst'ultima NON E' MAI integrabile dato che $m\geq1$ (per l'integrabilità in senso improprio ci vorrebbe $m<1$)
Perfetto, "a memoria" andavo bene quindi...ma se volessi verificare questo criterio, come faccio a usare il criterio del confronto? Cioè, con quale $g(x)$ confronto la $f(x)$ in modo che $ g(x) <= f(x) rArr |int_(-oo)^(oo) g(x)dx |<= |int_(-oo)^(oo) f(x)dx | $ ?[/quote]
Con la funzione $g(x)=\frac{1}{(x-x_0)^m}$, come dicevo prima (o non ho capito la domanda)
EDIT In realtà conviene pensare a un "confronto asintotico, cioè a $|\frac{f(x)}{1/(x-x_0)^m}|\to l$ per $x\to x_0$, con $0
EDIT 2 Ho corretto una svista che rendeva criptico il discorso (avevo usato $m$ con due significati diversi).
La mia domanda è molto più semplice di quella che sembra 
:
perchè $ int_(-oo)^(oo) 1/(x-x_0)^m dx=oo $ per $m>=1$ ?
Allora, volendo applicare il criterio del confronto, vale la: $|1/(x-1)^m|<=|e^(ix)/(x^3+1)|$ ? Come faccio a dirlo?
:perchè $ int_(-oo)^(oo) 1/(x-x_0)^m dx=oo $ per $m>=1$ ?
Allora, volendo applicare il criterio del confronto, vale la: $|1/(x-1)^m|<=|e^(ix)/(x^3+1)|$ ? Come faccio a dirlo?
Alla prima domanda semplice a risposta è ancora più semplice: ti fai il conto 
In realtà non fa infinito in generale: se $m$ è dispari
fa più infinito a destra di $x_0$ e meno infinito a sinistra.
Per la seconda ho tentato di darti l'idea nell'aggiunta che ho fatto al messaggio precedente, si tratta di fare il limite del rapporto.
Nota che tutti questi discorsi riguardano un intorno del punto $x_0$ (che nel tuo caso era $-1$). Peraltro (se usi una nozione di integrale
tradizionale, che non permette "compenzazioni tra infiniti") allora se va male vicino a $x_0$, non puoi integrare sulla retta.
In realtà non fa infinito in generale: se $m$ è disparifa più infinito a destra di $x_0$ e meno infinito a sinistra.
Per la seconda ho tentato di darti l'idea nell'aggiunta che ho fatto al messaggio precedente, si tratta di fare il limite del rapporto.
Nota che tutti questi discorsi riguardano un intorno del punto $x_0$ (che nel tuo caso era $-1$). Peraltro (se usi una nozione di integrale
tradizionale, che non permette "compenzazioni tra infiniti") allora se va male vicino a $x_0$, non puoi integrare sulla retta.
Ok...fatti i conti...con il confronto asintotico è venuto più semplice verificare quello che chiedevo. Tutto risolto grazie 1000 
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