$h(X)=\int_1^x(1/log(1+t^2))dt$
$ AA x \in A : h'(X)=f(x)=1/log(1+x^2) $Salve ragazzi , ho questo esercizio :
Dare il maggior numero di elementi possibili per lo studio della funzione integrale $h(X)=\int_1^x(1/log(1+t^2))dt$
Ho agito in questo modo :
Notiamo innanzi tutto che $f(t)=1/log(1+t^2)$ è ben definita $AA x \in RR$ ed è ivi continua.
Poiché $1\inRR = I$ , $H : A sube I - RR$ dove $A=[1,+\infty[ = domH$
Pertanto $H : [1,+infty[->RR$.
Possiamo dire inoltre che $h(1)=0$ ed essendo $AA x \in A : h'(X)=f(x)=1/log(1+x^2)$ , studiando il segno di $f$ , ho che $f>0 AA x \in A =>$ $h$ è monotona strettamente crescente in $A$. Ne segue che ammette limite (finito o no) per $x->+\infty$.
Considero
$lim_(t->+\infty} t^(\alpha) / log(1+t^2)$ (*)
Ma per $t->+\infty$ il denominatore è infinitamente piccolo, pertanto $AA \alpha >0 : (*) ->+\infty$. Quindi, in linea teorica non potrei concludere nulla circa la convergenza (o divergenza).
Dove sta l'inghippo?
Grazie mille.
EDIT : Avevo scritto delle boiate.
Dare il maggior numero di elementi possibili per lo studio della funzione integrale $h(X)=\int_1^x(1/log(1+t^2))dt$
Ho agito in questo modo :
Notiamo innanzi tutto che $f(t)=1/log(1+t^2)$ è ben definita $AA x \in RR$ ed è ivi continua.
Poiché $1\inRR = I$ , $H : A sube I - RR$ dove $A=[1,+\infty[ = domH$
Pertanto $H : [1,+infty[->RR$.
Possiamo dire inoltre che $h(1)=0$ ed essendo $AA x \in A : h'(X)=f(x)=1/log(1+x^2)$ , studiando il segno di $f$ , ho che $f>0 AA x \in A =>$ $h$ è monotona strettamente crescente in $A$. Ne segue che ammette limite (finito o no) per $x->+\infty$.
Considero
$lim_(t->+\infty} t^(\alpha) / log(1+t^2)$ (*)
Ma per $t->+\infty$ il denominatore è infinitamente piccolo, pertanto $AA \alpha >0 : (*) ->+\infty$. Quindi, in linea teorica non potrei concludere nulla circa la convergenza (o divergenza).
Dove sta l'inghippo?
Grazie mille.
EDIT : Avevo scritto delle boiate.
Risposte
Hai certamente sbagliato il dominio. Perché?
Innanzi tutto grazie gugo per la risposta, Ammetto che l'argomento mi è un poco ostico e non ho potuto seguire la lezione della prof riguardante tale argomento, Aimé!
Allora, prima di tutto per parlare di funzione integrale , deve succedere che la funzione integranda sia definita in un intervallo.
Considerando $f(t)=1/ln(1+t^2)$ ho che $domf=RR\\{0}$ che non è un intervallo.
Studiando approssimativamente $f$ ho che per $t->0^+ => f->+\infty$ e per $t->0^- => f -> +\infty$. Mentre per $t->+-\infty => f->0$
Dallo studio di $f'$ si ha che $f$ è monotona strettamente decrescente in $]0,+\infty[$ ed in $]-\infty,0[$ strettamente crescente.
Se considero $ I= ]0,+\infty[$ , per ogni $x \in I$ , essendo $f$ monotona, $f$ è integrabile in senso generalizzato. Quindi il dominio di $H$ è tutto $I$? o sbaglio ancora?
Allora, prima di tutto per parlare di funzione integrale , deve succedere che la funzione integranda sia definita in un intervallo.
Considerando $f(t)=1/ln(1+t^2)$ ho che $domf=RR\\{0}$ che non è un intervallo.
Studiando approssimativamente $f$ ho che per $t->0^+ => f->+\infty$ e per $t->0^- => f -> +\infty$. Mentre per $t->+-\infty => f->0$
Dallo studio di $f'$ si ha che $f$ è monotona strettamente decrescente in $]0,+\infty[$ ed in $]-\infty,0[$ strettamente crescente.
Se considero $ I= ]0,+\infty[$ , per ogni $x \in I$ , essendo $f$ monotona, $f$ è integrabile in senso generalizzato. Quindi il dominio di $H$ è tutto $I$? o sbaglio ancora?
Esatto, per il dominio.
Per quanto riguarda il limite all'infinito della funzione integrale, tieni presente che l'integrando può essere minorato con un multiplo di \(1/x\) intorno a \(+\infty\), quindi...
Per il resto, sullo studio della funzione integrale puoi riferirti all'ottimo thread di Camillo.
Per quanto riguarda il limite all'infinito della funzione integrale, tieni presente che l'integrando può essere minorato con un multiplo di \(1/x\) intorno a \(+\infty\), quindi...
Per il resto, sullo studio della funzione integrale puoi riferirti all'ottimo thread di Camillo.
grazie mille gugo
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