HP di continuità in definizione di lavoro e flusso di un campo vettoriale
Ciao a tutti, ho lo stesso identico problema nella definizione di lavoro di un vettore nello spostamento lungo una curva e per quella di flusso di un vettore uscente dalla frontiera di un dominio piano regolare.
Partiamo dal lavoro.
Consideriamo un campo vettoriale del piano ad esempio così definito
$ ul(v)=(x,y)=(v_1(x,y);v_2(x,y)) $
con $ (x,y) in Omega sube R^2 $
Consideriamo inoltre la curva $Gamma sub Omega$ con rappresentazione parametrica regolare $ul(p)=ul(p)(t)$ con $t sub [a,b]$
Sia inoltre $ul(t)(ul(p))$ la funzione orientamento indotta dalla r.p.
Supponendo $ul(v) sub C^0(Omega)$ è lecito scrivere:
$ int_(Gamma) ul(v)(ul(p))\cdot ul(t)(ul(p)) ds$ ovvero l'integrale curvilineo esteso a $Gamma$ della funzione $ul(v)(ul(p))\cdot ul(t)(ul(p))$.
Manca però l'Hp di continuità $C^0(Gamma)$ della funzione integranda necessaria per svolgere l'integrale curvilineo.
Infatti tale funzione integranda è data dal prodotto scalare di una funzione vettoriale continua in tutto $Omega$ e, di conseguenza, anche in $Gamma$ e da un'altra funzione vettoriale che è la funzione orientamento della curva che sappiamo essere di classe $C^0 [a,b] $.
Per quanto riguarda il flusso invece si ha $B$ dominio piano regolare ad unico contorno e il medesimo campo vettoriale $ul(v) sub C^0(B)$. Si definisce allora flusso del vettore uscente dalla frontiera di B:
$ int_(delta B) ul(v)(ul(p))\cdot ul(n_e)(ul(p))ds $
Ancora una volta abbiamo un prodotto scalare col primo vettore continuo nella curva e il secondo di cui non si ha alcuna informazione.
Suggerimenti?Grazie in anticipo!
Partiamo dal lavoro.
Consideriamo un campo vettoriale del piano ad esempio così definito
$ ul(v)=(x,y)=(v_1(x,y);v_2(x,y)) $
con $ (x,y) in Omega sube R^2 $
Consideriamo inoltre la curva $Gamma sub Omega$ con rappresentazione parametrica regolare $ul(p)=ul(p)(t)$ con $t sub [a,b]$
Sia inoltre $ul(t)(ul(p))$ la funzione orientamento indotta dalla r.p.
Supponendo $ul(v) sub C^0(Omega)$ è lecito scrivere:
$ int_(Gamma) ul(v)(ul(p))\cdot ul(t)(ul(p)) ds$ ovvero l'integrale curvilineo esteso a $Gamma$ della funzione $ul(v)(ul(p))\cdot ul(t)(ul(p))$.
Manca però l'Hp di continuità $C^0(Gamma)$ della funzione integranda necessaria per svolgere l'integrale curvilineo.
Infatti tale funzione integranda è data dal prodotto scalare di una funzione vettoriale continua in tutto $Omega$ e, di conseguenza, anche in $Gamma$ e da un'altra funzione vettoriale che è la funzione orientamento della curva che sappiamo essere di classe $C^0 [a,b] $.
Per quanto riguarda il flusso invece si ha $B$ dominio piano regolare ad unico contorno e il medesimo campo vettoriale $ul(v) sub C^0(B)$. Si definisce allora flusso del vettore uscente dalla frontiera di B:
$ int_(delta B) ul(v)(ul(p))\cdot ul(n_e)(ul(p))ds $
Ancora una volta abbiamo un prodotto scalare col primo vettore continuo nella curva e il secondo di cui non si ha alcuna informazione.
Suggerimenti?Grazie in anticipo!
Risposte
Up
Quale sarebbe la domanda? Non si capisce. Probabilmente chi ti ha fornito queste definizioni (libro, appunti ...) sottointende che va richiesta su $v$ una regolarità minima affinché gli integrali abbiano senso.
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