Holderianità della funzione radice quadrata

[sadfsadfa]

Per dimostrare che $ f(x) = \sqrt{x} $ è localmente holderiana con $ \alpha = \frac{1}{2} $ , ho sfruttato il fatto che $ | a^2 - b^2 | \le | a - b| | a + b | $ e ponendo $ a = \sqrt{x} $ e $ b = \sqrt{b} $ ho svolto i seguenti calcoli:
$ |\sqrt{x} - \sqrt{y} |^2 = \frac{| x - y |}{( \sqrt{x} + \sqrt{y} )^2}|x - y |$
E quindi $ \forall x,y \in I $ (un intervallo contenuto nel dominio della funzione ) ottengo che:
$ |\sqrt{x} - \sqrt{y} |^2 \le \frac{\mbox{sup}(I)}{( \sqrt{x} + \sqrt{y} )^2} |x - y |$
Cioè
$ | \sqrt{x} - \sqrt{y} |\le \frac{\sqrt{mbox{sup}(I)}}{2\sqrt{\mbox{inf}(I)}} |x - y |^{\frac{1}{2} $
E quindi $ f $ è localmente holderiana con $ H = \frac{\sqrt{mbox{sup}(I)}}{2\sqrt{\mbox{inf}(I)}} $

Questo è il ragionamento che ho fatto, però mi sembra un po' strana la costante H che ho trovato, qualcuno sa dirmi se la dimostrazione dell'holderianità si fa in modo diverso?

[gugo82]

Un po' di calcolo letterale mostra che $|sqrt(|x|) - sqrt(|y|)| <= sqrt(||x|-|y||)$.

[sadfsadfa]

Ok quindi la costante vale 1
$ | \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} |^2 = | \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} || \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} | \le | \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} || \sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}| $ (perché la radice di un numero è sempre positiva)
E per la formula di differenza di quadrati ottengo che
$ | \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} || \sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}| = | |x| - |y| | \le | x - y | $ (per la lipscitzianità del valore assoluto)
Quindi
$ | \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} |^2 \le | x - y | \Leftrightarrow | \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|} | \le | x - y |^{\frac{1}{2} $

Giusto?