Hilbert, spazio ortogonale.
Ciao a tutti, volevo provare che dato uno spazio di Hilbert $H$ ed un suo sottospazio $M$, vale $\bar{M}=(M^_|_)^_|_$.
Se $M$ è chiuso lo si verifica sfruttando $H=M\oplusM^_|_=M^_|_\oplus(M^_|_)^_|_$. Se $M$ non è chiuso invece, so che $\barM$ lo è, e pertanto $(\barM^_|_)^_|_=\barM$. Per concludere, avevo pensato di far vedere che vale $\barM^_|_=\bar(M^_|_)$. Se questo è vero, si arriva con un paio di passaggi alla tesi. Il problema è proprio . . ma è vero ?
Ho mostrato che $\bar(M^_|_)$ contiene $\barM^_|_$, ma non mi riesce di provare l'inclusione opposta. Avete qualche suggerimento da darmi ?
Se $M$ è chiuso lo si verifica sfruttando $H=M\oplusM^_|_=M^_|_\oplus(M^_|_)^_|_$. Se $M$ non è chiuso invece, so che $\barM$ lo è, e pertanto $(\barM^_|_)^_|_=\barM$. Per concludere, avevo pensato di far vedere che vale $\barM^_|_=\bar(M^_|_)$. Se questo è vero, si arriva con un paio di passaggi alla tesi. Il problema è proprio . . ma è vero ?
Ho mostrato che $\bar(M^_|_)$ contiene $\barM^_|_$, ma non mi riesce di provare l'inclusione opposta. Avete qualche suggerimento da darmi ?
Risposte
Mah, senti, mi pare che sia vero. Infatti $\bar{M^\bot}=M^\bot$ perché l'ortogonale di un qualsiasi sottoinsieme è sempre un sottospazio chiuso: si tratta dell'intersezione di una famiglia di nuclei di forme lineari continue, quindi una interserzione di chiusi. Quindi ti stai chiedendo se $\bar{M}^\bot=M^\bot$ e questa è una domanda classica la cui risposta è si.
Infatti una inclusione $\bar{M}^\bot \subset M^\bot$ è ovvia. Per l'altra, sia $x \in M^\bot$, ovvero $(x, m)=0\ ,\forall m \inM$. Se $\bar{m}\in\bar{M}$, esiste una successione $m_n\in M, m_n \to \bar{m}$. Per la continuità del prodotto scalare hai che:
$0=(x, m_n)\to (x, \bar{m})$ e quindi $(x, \bar{m})=0$.
Infatti una inclusione $\bar{M}^\bot \subset M^\bot$ è ovvia. Per l'altra, sia $x \in M^\bot$, ovvero $(x, m)=0\ ,\forall m \inM$. Se $\bar{m}\in\bar{M}$, esiste una successione $m_n\in M, m_n \to \bar{m}$. Per la continuità del prodotto scalare hai che:
$0=(x, m_n)\to (x, \bar{m})$ e quindi $(x, \bar{m})=0$.
"dissonance":
Mah, senti, mi pare che sia vero. Infatti $\bar{M^\bot}=M^\bot$ perché l'ortogonale di un qualsiasi sottoinsieme è sempre un sottospazio chiuso: si tratta dell'intersezione di una famiglia di nuclei di forme lineari continue, quindi una interserzione di chiusi. Quindi ti stai chiedendo se $\bar{M}^\bot=M^\bot$ e questa è una domanda classica la cui risposta è si.
Infatti una inclusione $\bar{M}^\bot \subset M^\bot$ è ovvia. Per l'altra, sia $x \in M^\bot$, ovvero $(x, m)=0\ ,\forall m \inM$. Se $\bar{m}\in\bar{M}$, esiste una successione $m_n\in M, m_n \to \bar{m}$. Per la continuità del prodotto scalare hai che:
$0=(x, m_n)\to (x, \bar{m})$ e quindi $(x, \bar{m})=0$.
Grazie mille davvero. Scelto $x \in M^\bot$ non riuscivo a dimostrarne l'appartenenza a $\(barM)^_|_$. Grazie ancora e buona serata !
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