Hessiano per le funzione monotone

[dvd881]

Ciao.
Nel caso di funzioni strettamente crescenti o decrescenti come logaritmo ed esponenziale, ad esempio
$ f(x,y) = e^{g(x,y)} $
posso calcolare i punti stazionari ponendo il gradiente della funzione g = 0 perché in effetti le derivate prime di f sono nulle se sono nulle le derivate prime di g.

Quando devo determinare il tipo di punto stazionario attraverso l'Hessiana, per semplificarmi i calcoli, posso usare di nuovo la funzione g e calcolare le derivate parziali seconde di g invece che di f? Se si perché?
Grazie

[lordb]

Allora:

$grad f(x,y) = (e^(g(x,y))*(\partialg(x,y))/(partialx),e^(g(x,y))*(\partialg(x,y))/(partialy))=e^(g(x,y))*grad g(x.y)$

giustamente poichè $e^(g(x,y))!=0$ si ha $grad f(x,y)=\vec 0 <=>grad g(x.y)=\vec 0$.

Ora per quanto riguarda l'Hessiana,abbiamo bisogno:

$H(x,y)=(([\partial^2f]/[partial x^2],[\partial^2f]/[partial x partial y]),([\partial^2f]/[partial x partial y],[\partial^2f]/[partial y^2]))$

e vogliamo vedere se le operazioni che dobbiamo fare ci permettano di lavorare solo con:

$G(x,y)=(([\partial^2g]/[partial x^2],[\partial^2g]/[partial x partial y]),([\partial^2g]/[partial x partial y],[\partial^2g]/[partial y^2]))$

$(\partial^2f)/(\partial x^2)(x,y)=e^(g(x,y))*(\partialg(x,y))/(partialx)*(\partialg(x,y))/(partialx)+e^(g(x,y))*(\partial^2g(x,y))/(partialx^2)=e^(g(x,y))*(((\partialg(x,y))/(partialx))^2+(\partial^2g(x,y))/(partialx^2))$

$(\partial^2f)/(\partial y^2)(x,y)=e^(g(x,y))*(((\partialg(x,y))/(partialy))^2+(\partial^2g(x,y))/(partialy^2))$

$(\partial^2f)/(\partial xy)(x,y)=e^(g(x,y))*(\partialg(x,y))/(partialy)*(\partialg(x,y))/(partialx)+e^(g(x,y))*(\partialg(x,y))/(partialy partial x)=e^(g(x,y))*((\partialg(x,y))/(partialy)*(\partialg(x,y))/(partialx)+(\partialg(x,y))/(partialy partial x))$

Come vedi dentro parentesi c'è un addendo $((\partialg(x,y))/(partialx))^2$ che effettivamente può modificare il "segno" della derivata $(\partial^2f)/(\partial x^2)(x,y)$.

Di conseguenza direi che non si può ragionare su $G(x,y)$ invece che su $H(x,y)$.

[dissonance]

Vero quanto dici, lordb: ad esempio se \(g(x, y)=\log x + \log y\) allora \(G\) è definita negativa in ogni punto mentre \(H\) è identicamente nulla. Ma comunque si può dire moltissimo dalla sola analisi di \(g\): specialmente, è vero che un punto \((x_0, y_0)\) è di massimo/minimo per \(f\) se e solo se lo è per \(g\).

[dvd881]

Infatti, se non sbaglio la matrice Hessiana è diversa ma il determinate in un punto stazionario si può calcolare con la matrice di g questo perché con la funzione
$ f(x,y) = e^{g(x,y)} $
la matrice Hessiana della funzione f è (con fx intendo derivata prima in x ...)
$ | ( fx x , fxy ),( fyx , fyy ) | $
dove
$ fx x = f(x,y)((gx)^2 + gx x) $
$ fxy = fyx = f(x,y)(gxgy + gxy) $
$ fyy = f(x,y)((gy)^2 + gyy) $
il cui determinante è
$D = (f(x,y))^2 (gx xgyy - (gxy)^2 - 2gxgygxy + gx x(gy)^2 + gyy(gx)^2) $
Il quale, considerato che nei punti stazionari gx = gy = 0, e che f(x, y) è sempre positivo quindi non cambia il segno di fxx, si può ridurre al calcolo del determinante dell'Hessiana della funzione g, ovvero
$D = gx xgyy-(gxy)^2 $
Confermate?

[lordb]

Ah se ti interessa solamente usarle per classificare i punti critici (stazionari) vediamo che succede:

Se $(bar x,bar y)$ è un punto critico si ha:

$grad f(bar x,bar y) = \vec 0$ quindi:

$\vec 0=grad f(bar x,bar y) =e^(g(bar x,bar y))*grad g(bar x.bar y) <=> grad g(bar x.bar y) = vec 0$

Allora:

$[\partialg(bar x,bar y)]/[partialx]=[\partialg(bar x,bar y)]/[partialy]=0$

Utilizziamo le relazioni prima trovate dove sono esplicitate le derivate di $f$, calcolandole in $(bar x,bar y)$:

$(\partial^2f)/(\partial x^2)(bar x,,bar y)=e^(g(bar x,bar y))*(0^2+(\partial^2g(x,y))/(partialx^2))=e^(g(bar x,bar y))*((\partial^2g(x,y))/(partialx^2))$

$(\partial^2f)/(\partial y^2)(bar x,bar y)=e^(g(bar x,bar y))*((\partial^2g(bar x,bar y))/(partialy^2))$

$(\partial^2f)/(\partial xy)(bar x,bar y)=e^(g(bar x,bar y))*(0*0+0)=0$

Dunque c'è questa relazione tra le Hessiane:

$H(bar x,bar y)=(([\partial^2f((bar x,bar y))]/[partial x^2],0),(0,[\partial^2f((bar x,bar y))]/[partial y^2]))=((e^[g((bar x,bar y))]*[\partial^2g((bar x,bar y))]/[partialx^2],0),(0,e^[g((bar x,bar y))]*[\partial^2g((bar x,bar y))]/[partialy^2]))$

$H(bar x,bar y)=e^(g(barx,bary))*(([\partial^2g((bar x,bar y))]/[partialx^2],0),(0,[\partial^2g((bar x,bar y))]/[partialy^2]))$

Ovvero $H(bar x,bar y)=e^(g(bar x,bar y))*G(bar x,bar y)$.

Gli studi che bisogna fare con l'Hessiana $H(bar x,bar y)$ sono:

1) $sign(e^(g(bar x,bar y))*((\partial^2g(x,y))/(partialx^2)))=sign((\partial^2g(x,y))/(partialx^2))$
2) $sign(e^(g(bar x,bar y))*((\partial^2g(x,y))/(partialy^2)))=sign((\partial^2g(x,y))/(partialy^2))$
3) $sign(det(H(bar x,bar y)))=sign(det(e^(g(bar x,bar y))*G(bar x,bar y)))=sign(det(G(bar x,bar y)))$

Le uguaglianze ottenute dimostrano che effettivamente, per classificare i punti critici trovati in precedenza è possibile studiare solo l'Hessiana $G$ calcolata in $(bar x_i,bar y_i)$.

Comunque aspetta il responso di dissonance che è molto più preparato di me

[dissonance]

Ok, sono d'accordo su tutto l'ultimo post di lordb (e quindi, immagino, anche con il post di dvd88 che però è un po' fastidioso da leggere: usa il simbolo "_" per scrivere lettere a pedice, come in "g_x" \(g_x\)).

[dvd881]

Risolto allora. Lo stesso vale per le funzioni strettamente crescenti logaritmo e radice.
L'underscore, non era difficile! La prossima volta lo uso.
Grazie!

[dissonance]

Più in generale è vero per qualsiasi funzione strettamente crescente. I punti di massimo/minimo locale della funzione $f(x, y)=F(g(x, y))$, dove $F\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione strettamente crescente, sono tutti e soli i punti di massimo/minimo locale di $g$. Questo è proprio ovvio, basta pensare un attimo alle definizioni.