Hessiano nullo!!aiuto!!
Salve a tutti!! ho un disperato bisogno d'aiuto....vorrei sapere il procedimento esatto quando si determinano punti di massimo e minimo di una funzione in due variabili e capita l'HESSIANO NULLO...come si fa???vi prego rispondetemi!!grazie a tutti e alla disponibilità del forum Ciao!!!
Risposte
se (x0,y0) è il punto sospetto, devi studiare il segno di f(x,y)-f(x0,y0) in un intorno del punto sospetto. se il segno è variabile in un qualsiasi intorno del punto, è una sella. se trovi un intorno dove il segno è definitivamente positivo è un minimo. se ne trovi uno dove il segno è definitivamente negativo è un massimo.
Dunque si prende la funzione data si sottrae per i punti sospetti sostituiti nella funzione stessa e il risultato verrà studiato
mediante il segno come la funzione di una variabile determinando i massimi e minimi relativi.....spero di aver capito bene
mi confermate??per piacere???grazie!!ciao!!!
mediante il segno come la funzione di una variabile determinando i massimi e minimi relativi.....spero di aver capito bene
mi confermate??per piacere???grazie!!ciao!!!
Faccio un esempio : la funzione da studiare sia : $ f(x,y) = x^3/3 -xy^2+2y^3 $ .
Risolvendo il sistema :
$(delf)/(delx) = 0 $
$(delf)/(dely) = 0 $ .
si trovano come punti critici : $P_1 =(0,0)$ e $P_2 = (6,2)$.
Si ha inoltre che H ($P_1 ) = 0 $ :[H sta per Hessiano ] è quindi necessario uno studio locale e bisogna vedere il comportamento di :
$Delta f = f(x,y)-f(0,0)$: poichè $f(0,0)=0 $ si ha :
$Delta f = x^2/3-xy^2+2y^3 $.
Se $Deltaf > 0 $ in un intorno di $P_1=(0,0) $ allora il punto è di max relativo
se $Deltaf < 0 $ in un intorno di $ P_1 $ allora il punto è di min relativo .
Se invece $Deltaf $ cambia segno in ogni intorno di $P_1 $ allora il punto è di sella .
Consideriamo cosa avviene per il $ Deltaf $ lungo la retta $x=0$ ( cioè l'asse y) , nell'intorno dell'origine ; si ha che : $Deltaf = f(0,y)=2y^3$ che in ogni intorno di (0,0) assume sia valori positivi che negativi ( l'esponente di y è dispari ) .
Allora $ P_1 $ è un punto di sella.
Si ha inoltre che : $H(P_2) = -8 < 0 $ e quindi è pure punto di sella .
Risolvendo il sistema :
$(delf)/(delx) = 0 $
$(delf)/(dely) = 0 $ .
si trovano come punti critici : $P_1 =(0,0)$ e $P_2 = (6,2)$.
Si ha inoltre che H ($P_1 ) = 0 $ :[H sta per Hessiano ] è quindi necessario uno studio locale e bisogna vedere il comportamento di :
$Delta f = f(x,y)-f(0,0)$: poichè $f(0,0)=0 $ si ha :
$Delta f = x^2/3-xy^2+2y^3 $.
Se $Deltaf > 0 $ in un intorno di $P_1=(0,0) $ allora il punto è di max relativo
se $Deltaf < 0 $ in un intorno di $ P_1 $ allora il punto è di min relativo .
Se invece $Deltaf $ cambia segno in ogni intorno di $P_1 $ allora il punto è di sella .
Consideriamo cosa avviene per il $ Deltaf $ lungo la retta $x=0$ ( cioè l'asse y) , nell'intorno dell'origine ; si ha che : $Deltaf = f(0,y)=2y^3$ che in ogni intorno di (0,0) assume sia valori positivi che negativi ( l'esponente di y è dispari ) .
Allora $ P_1 $ è un punto di sella.
Si ha inoltre che : $H(P_2) = -8 < 0 $ e quindi è pure punto di sella .
Ciao Camillo ti ringranzio per avermi risposto...solo che nn riesco a capire la 3° ipotesi...."Se invece $Deltaf $ cambia segno in ogni intorno di $P_1 $ allora il punto è di sella" cosa si intende cambia di segno in ogni intorno??se puoi rispondimi
grazie ancora per l'aiuto...ciao!!!
grazie ancora per l'aiuto...ciao!!!
"camillo":
Faccio un esempio : la funzione da studiare sia : $ f(x,y) = x^3/3 -xy^2+2y^3 $ .
Risolvendo il sistema :
Se invece $Deltaf $ cambia segno in ogni intorno di $P_1 $ allora il punto è di sella .
Consideriamo cosa avviene per il $ Deltaf $ lungo la retta $x=0$ ( cioè l'asse y) , nell'intorno dell'origine ; si ha che : $Deltaf = f(0,y)=2y^3$ che in ogni intorno di (0,0) assume sia valori positivi che negativi ( l'esponente di y è dispari ) .
Allora $ P_1 $ è un punto di sella.
Si ha inoltre che : $H(P_2) = -8 < 0 $ e quindi è pure punto di sella .
E' proprio questo il caso n.3 :
considero il punto $(0,0.1)$ che appartiene appunto all'asse y e a un intorno dell'origine : se vado a vedere il segno di $Delta f $ in questo punto avrò un valore positivo : $2*(0.1)^3 = 0.002$ .
se considero invece il punto $ (0,-0.1) $ , sempre appartenete all'asse y e a un intorno dell'origine otterro per $Deltaf $ un valore negativo :$2*(-0.1)^3 = -0.002 $.
Allora , come si vede $Deltaf $cambia segno in ogno intorno dell'origine che è dunque un punto di sella .
Camillo ti ringrazio tantissimo vorrei sdebitarmi...e nn so come fare 
grazie di tutto davvero....ciao!!!
grazie di tutto davvero....ciao!!!
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