Hessiano nullo - metodo del segno
Buonasera, avrei bisogno di un chiarimento riguardo al metodo del segno usato per risolvere un Hessiano nullo.
Dunque, il concetto di base mi è chiaro, ma vedendo passare molti esercizi mi sono accorto di non avere ben definito in testa il procedimento generico del metodo del segno.
Quando mi trovo davanti a un Hessiano nullo in $(x_0,y_0)$, quello che faccio è semplicemente studiare
$f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$
Tuttavia per quanto riguarda anche solo questa considerazione, ho visto molti procedimenti diversi. Ad esempio un esercizio decideva di verificare tutti i punti dell'asse x e della bisettrice 1-3, el'intorno era centrato nel punto (0,0). Un altro esercizio invece concludeva con $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0 -> |x|>2$, con l'estremo in questione centrato nell'origine, ma non dava spiegazioni. Vuol dire che intorno a (0,0) x può valere 2 e -2 e quindi è un punto di sella, suppongo.
La prima domanda dunque è: basta studiare $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$ o devo fare anche considerazioni "arbitrarie" (ma saggiamente scelte) per andare in cerca del risultato?
La seconda domanda viene invece proprio dallo studio di $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$. Riporto due esempi per sottolineare il mio dubbio:
$f(x,y)=(x-1)^2+y^2$ (NB: l'estremo $P(1,0)$ è un minimo e non ha Hessiano nullo, perchè volevo poter confrontare le mie considerazioni con il test delle derivate seconde)
$f(x,y)-f(1,0)= (x-1)^2+y^2$
A questo punto è evidente che è sempre positiva, ma sarebbe corretto (in caso non fosse così ovvio notarlo), fare una cosa del tipo $y=x-1$ (dalle coordinate del punto), e dunque $f(x,x-1)=2(x-1)^2$ che è sempre positivo e dunque il punto è un minimo?
Perchè se invece prendo $f(x,y)=(x-1)^2-y^2$ le cose cambiano. Infatti, se ripeto il procedimento di prima viene 0=0. Posto che in questo caso l'estremo è un punto di sella, come interpreto il risultato 0=0? E' semplicemente la forma di un punto di sella?
Chiedo scusa per il lungo papiro ma purtroppo mi sto mandando in confusione da solo.
Grazie mille
Dunque, il concetto di base mi è chiaro, ma vedendo passare molti esercizi mi sono accorto di non avere ben definito in testa il procedimento generico del metodo del segno.
Quando mi trovo davanti a un Hessiano nullo in $(x_0,y_0)$, quello che faccio è semplicemente studiare
$f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$
Tuttavia per quanto riguarda anche solo questa considerazione, ho visto molti procedimenti diversi. Ad esempio un esercizio decideva di verificare tutti i punti dell'asse x e della bisettrice 1-3, el'intorno era centrato nel punto (0,0). Un altro esercizio invece concludeva con $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0 -> |x|>2$, con l'estremo in questione centrato nell'origine, ma non dava spiegazioni. Vuol dire che intorno a (0,0) x può valere 2 e -2 e quindi è un punto di sella, suppongo.
La prima domanda dunque è: basta studiare $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$ o devo fare anche considerazioni "arbitrarie" (ma saggiamente scelte) per andare in cerca del risultato?
La seconda domanda viene invece proprio dallo studio di $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$. Riporto due esempi per sottolineare il mio dubbio:
$f(x,y)=(x-1)^2+y^2$ (NB: l'estremo $P(1,0)$ è un minimo e non ha Hessiano nullo, perchè volevo poter confrontare le mie considerazioni con il test delle derivate seconde)
$f(x,y)-f(1,0)= (x-1)^2+y^2$
A questo punto è evidente che è sempre positiva, ma sarebbe corretto (in caso non fosse così ovvio notarlo), fare una cosa del tipo $y=x-1$ (dalle coordinate del punto), e dunque $f(x,x-1)=2(x-1)^2$ che è sempre positivo e dunque il punto è un minimo?
Perchè se invece prendo $f(x,y)=(x-1)^2-y^2$ le cose cambiano. Infatti, se ripeto il procedimento di prima viene 0=0. Posto che in questo caso l'estremo è un punto di sella, come interpreto il risultato 0=0? E' semplicemente la forma di un punto di sella?
Chiedo scusa per il lungo papiro ma purtroppo mi sto mandando in confusione da solo.
Grazie mille
Risposte
Porre \(y=x-1\) non va bene. Così facendo stai studiando la restrizione della funzione ad una retta, il che ti può dare qualche informazione utile, ma non ti potrà mai dire cosa fa la funzione su tutto il suo dominio.
Hmm giusto... e quindi nel secondo caso mi trovo davanti a $(x-1)^2>=y^2$, cioè $+-(x+1)>=+-y$, il che significa che il segno cambia e dunque è un punto di sella, immagino.
Avevo chiesto riguardo la sostituzione perchè appunto in un altro esercizio in cui il punto in questione era (0,0) la soluzione sostituiva prima x=y e poi x=-y e ne studiava i segni.
Però ad esempio se dovessi studiare $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$ nell'intorno di (0,0)?
Mi verrebbe da fare $x^4+y^4>=2(x-y)^2$ ma non saprei come procedere di qui in avanti.
Grazie
Avevo chiesto riguardo la sostituzione perchè appunto in un altro esercizio in cui il punto in questione era (0,0) la soluzione sostituiva prima x=y e poi x=-y e ne studiava i segni.
Però ad esempio se dovessi studiare $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$ nell'intorno di (0,0)?
Mi verrebbe da fare $x^4+y^4>=2(x-y)^2$ ma non saprei come procedere di qui in avanti.
Grazie
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