Hessiano nullo, massimi e minimi funzione in 2 variabili

[blob84]

Salve,
$f(x,y) = y^2+ye^(x^2)-y+1$, ha hessiano nullo in $(0,0)$, come si potebbe procedere?

[ostrogoto1]

$ (partial f)/(partial x) |_(x=0)=2y $ (1)
$ g(x)=f(x,x)=x^2+xe^(x^2)-x+1 $ (2)
$ (dg)/dx=2x+e^(x^2)(1+2x^2)+1>0 $ in un intorno di $ x=0 $
quindi studiando la derivata lungo l'asse delle y per (1) $ (0,0) $ dovrebbe essere un minimo, pero' lungo $ y=x $ (2) si trova che la derivata e' crescente in un intorno di $ x=0 $ quindi non puo' essere un minimo...

[stormy1]

io andrei a studiare il segno di $y(y+e^(x^2)-1)$

[pemaberty]

$ y^2 + ye^x - y > 0 -> y^2 + y(e^x -1) > 0 -> y> -(e^x - 1) -> y> -e^x+1 $

La funzione $y= -e^x +1$ passa per il punto (0,0) quindi il nostro punto fa parte della "linea di confine" dove la nostra funzione cambia segno, quindi è punto sella.

[stormy1]

nell'andare dal secondo al terzo passaggio hai supposto arbitrariamente che debba essere per forza $y>0$

[blob84]

ostrogoto non ho capito come fai a dire che quella derivata è crescente in un intorno di $0$, non fare come gli autori dei libri di matematica .
$y(y+e^(x^2)-1) > 0$ se $y >0$ e $y>1-e^(x^2)$ oppure se $y<0$ e $y<1-e^(x^2)$.

[ostrogoto1]

You are right, i explain
$ (dg)/dx=2x+e^(x^2)(1+2x^2)+1 $ (1)
Per $ x>0 $ ovvio, per $ x<0 $ il termine $ e^(x^2)(1+2x^2) $ e' sicuramente positivo, mentre $ 1+2x >0 $ per $ x> -1/2 $ quindi almeno per $ x in (-1/2,alpha) $ con $ alpha>0 $ posso garantire che (1) e' positivo. In realta' studiando il segno di (1) l'intervallo a sinistra dello zero sara' oltre $ -1/2 $ ma a me e' sufficiente trovare un intervallo qualunque intorno allo zero non necessariamente il piu' grande possibile.