Hessiano nullo in una funzione a 3 variabili
Salve, non capisco come procedere nella risoluzione di questo esercizio:
Si trovino e classifichino i punti critici di:
$ f(x,y,z)=(x-1)^4-(x-y)^4-(y-z)^4 $
Procedo con il sistema:
$ \{(f_x= 0),(f_y= 0),(f_z= 0):} $
$ \{(4(x-1)^3 -4(x-y)^3 = 0),(4(x-y)^3-4(y-z)^3=0),(4(y-z)^3=0):}
\{((y-z)^3 = 0),((x-y)^3=0),((x-1)^3=0):} $
Ottenendo $ P(1,1,1) $
la matrice Hessiana mi risulta:
\( \begin{vmatrix} \displaystyle fxx & \displaystyle fxy & \displaystyle fxz \\ \displaystyle fyx & \displaystyle fyy & \displaystyle fyz \\ \displaystyle fzx & \displaystyle fzy & \displaystyle fzz \end{vmatrix}=0 \)
Di solito quando sono in 2 variabili cerco di studiare l'incremento della funzione \( \Delta f \) oppure quando è possibile uso il metodo delle rette o cerco in qualche modo di disegnare la funzione. In questo caso non so come procedere, mi potete aiutare?
Si trovino e classifichino i punti critici di:
$ f(x,y,z)=(x-1)^4-(x-y)^4-(y-z)^4 $
Procedo con il sistema:
$ \{(f_x= 0),(f_y= 0),(f_z= 0):} $
$ \{(4(x-1)^3 -4(x-y)^3 = 0),(4(x-y)^3-4(y-z)^3=0),(4(y-z)^3=0):}
\{((y-z)^3 = 0),((x-y)^3=0),((x-1)^3=0):} $
Ottenendo $ P(1,1,1) $
la matrice Hessiana mi risulta:
\( \begin{vmatrix} \displaystyle fxx & \displaystyle fxy & \displaystyle fxz \\ \displaystyle fyx & \displaystyle fyy & \displaystyle fyz \\ \displaystyle fzx & \displaystyle fzy & \displaystyle fzz \end{vmatrix}=0 \)
Di solito quando sono in 2 variabili cerco di studiare l'incremento della funzione \( \Delta f \) oppure quando è possibile uso il metodo delle rette o cerco in qualche modo di disegnare la funzione. In questo caso non so come procedere, mi potete aiutare?
Risposte
Ciao, proviamo a studiare il segno? Nel punto critico la nostra funzione vale 0, cosa succede se ci spostiamo leggermente? Non ho la soluzione in tasca sto solo ragionando con te.
Inizialmente avevo fatto $ Delta f=f(x,y,z)-f(1,1,1) $
Avevo provato con il triangolo di Tartaglia a svolgere il tutto ma ottengo:
$ f(x,y,z)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^4+4x^3y-6x^2y^2+4xy^3-y^4-(y-z)^4 $
$ f(x,y,z)=(4x^3-6x^2+4x)(y-1)-(y-z)^4 $
Solo che non saprei come procedere.
$ f(1+\epsilon, 1+\epsilon, 1+\epsilon) =\epsilon^4 $
$ f(1, 1, 1+\epsilon)=-(-\epsilon)^4=-\epsilon^4 $
Come dovrei valutare ciò?Dato che in un intorno del punto P ho sia valori positivi che negativi allora è un punto di sella?
Avevo provato con il triangolo di Tartaglia a svolgere il tutto ma ottengo:
$ f(x,y,z)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^4+4x^3y-6x^2y^2+4xy^3-y^4-(y-z)^4 $
$ f(x,y,z)=(4x^3-6x^2+4x)(y-1)-(y-z)^4 $
Solo che non saprei come procedere.
"gio73":
Ciao, proviamo a studiare il segno? Nel punto critico la nostra funzione vale 0, cosa succede se ci spostiamo leggermente? Non ho la soluzione in tasca sto solo ragionando con te.
"arnett":
Ciao, ti consiglio di valutare $ f(1+\epsilon, 1+\epsilon, 1+\epsilon) $ e $ f(1, 1, 1+\epsilon) $ con $ \epsilon $ positivo e piccolo a piacere
$ f(1+\epsilon, 1+\epsilon, 1+\epsilon) =\epsilon^4 $
$ f(1, 1, 1+\epsilon)=-(-\epsilon)^4=-\epsilon^4 $
Come dovrei valutare ciò?Dato che in un intorno del punto P ho sia valori positivi che negativi allora è un punto di sella?
Ne massimo ne minimo ti piace di più?
Non capisco cosa intendi, avevo solo chiesto se la conclusione era giusta: ho due comportamenti diversi nell'intorno del punto perciò nè massimo nè minimo sarebbe la classificazione del punto.
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