Hessiano nullo e metodo delle rette
La funzione $f(x;y) = \ln(1 + x^2 y^2)$ non ammette minimo. Confermare o smentire giustificando la riposta.
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In questo caso mi interessa verificare se abbia utilizzato correttamente il metodo delle rette, quindi i passaggi precedenti li salto e riporto solamente i risultati delle derivate parziali.
\[
f_x (x;y) = \frac{2xy^2}{1+x^2 y^2} \\
f_y (x;y) = \frac{2xy^2}{1+x^2 y^2} \\
\nabla f(x;y) = 0 \rightarrow P_1 (0;0) \\
f_{xx} (x;y) = 2y^2 \frac{1-x^2 y^2}{(1+x^2 y^2)^2} \\
f_{yy} (x;y) = 2x^2 \frac{1-x^2 y^2}{(1+x^2 y^2)^2} \\
f_{xy} (x;y) = 0 \\
det (H(f(0;0))) = 0
\]
Ora, non so se l'abbia ragionata bene: visto che il punto stazionario è l'origine e visto che a me serve capire il comportamento della funzione nell'intorno di quel punto, vedo quello che succede in corrispondenza delle due bisettrici che passano per l'origine, $y=x$ e $y=-x$.
Quindi:
\[
f(x;x) = \ln(1+x^4) \rightarrow f_x (x;x)= \frac{4x^3}{1+x^4} >0 \, \text{per} \,\, x >0 \,\, \text{in (0;0) c'è un minimo}\\
f(x;-x) = \ln(1+x^4) \rightarrow f_x (x;x)= \frac{4x^3}{1+x^4} >0 \, \text{per} \,\, x >0 \,\, \text{in (0;0) c'è un minimo}
\]
A questo punto vorrei sapere se abbia svolto correttamente il tutto e se, arrivati a queste conclusioni, è sufficiente per smentire la tesi iniziale.
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In questo caso mi interessa verificare se abbia utilizzato correttamente il metodo delle rette, quindi i passaggi precedenti li salto e riporto solamente i risultati delle derivate parziali.
\[
f_x (x;y) = \frac{2xy^2}{1+x^2 y^2} \\
f_y (x;y) = \frac{2xy^2}{1+x^2 y^2} \\
\nabla f(x;y) = 0 \rightarrow P_1 (0;0) \\
f_{xx} (x;y) = 2y^2 \frac{1-x^2 y^2}{(1+x^2 y^2)^2} \\
f_{yy} (x;y) = 2x^2 \frac{1-x^2 y^2}{(1+x^2 y^2)^2} \\
f_{xy} (x;y) = 0 \\
det (H(f(0;0))) = 0
\]
Ora, non so se l'abbia ragionata bene: visto che il punto stazionario è l'origine e visto che a me serve capire il comportamento della funzione nell'intorno di quel punto, vedo quello che succede in corrispondenza delle due bisettrici che passano per l'origine, $y=x$ e $y=-x$.
Quindi:
\[
f(x;x) = \ln(1+x^4) \rightarrow f_x (x;x)= \frac{4x^3}{1+x^4} >0 \, \text{per} \,\, x >0 \,\, \text{in (0;0) c'è un minimo}\\
f(x;-x) = \ln(1+x^4) \rightarrow f_x (x;x)= \frac{4x^3}{1+x^4} >0 \, \text{per} \,\, x >0 \,\, \text{in (0;0) c'è un minimo}
\]
A questo punto vorrei sapere se abbia svolto correttamente il tutto e se, arrivati a queste conclusioni, è sufficiente per smentire la tesi iniziale.
Risposte
Pausa.
Quali sono i punti critici?
Che ne so, tipo $x=0$ e $y=0$?
Il metodo è giusto, però, purtroppo per il metodo delle rette, non sempre è efficace e quando si cominciano a trovare tante direzioni che danno la stessa risposta forse è meglio passare al metodo classico, cioè porre $y=mx$ e vedere se il limite dipende da $m$.
OT.
Secondo me, se passa di qua gio73 - che saluto - sa come si comporta in quei punti la funzione senza usare le derivate parziali.
Quali sono i punti critici?
Che ne so, tipo $x=0$ e $y=0$?

Il metodo è giusto, però, purtroppo per il metodo delle rette, non sempre è efficace e quando si cominciano a trovare tante direzioni che danno la stessa risposta forse è meglio passare al metodo classico, cioè porre $y=mx$ e vedere se il limite dipende da $m$.
OT.
Secondo me, se passa di qua gio73 - che saluto - sa come si comporta in quei punti la funzione senza usare le derivate parziali.

Ma ciao G!
Mi hai evocata e sono qui
intanto
1) la funzione è ovunque definita: l'argomento del logaritmo è sempre maggiore di 0
io direi però che non solo l'origine è un minimo perché:
2) la funzione $ln$ è crescente, di conseguenza il nostro minimo sarà il punto dove l'argomento $1+x^2y^2$ ha un minimo e cioè quando il prodotto $x^2y^2=0$, cioè lungo gli assi coordinati $y=0 vv x=0$, isn't it?
Mi hai evocata e sono qui
intanto
1) la funzione è ovunque definita: l'argomento del logaritmo è sempre maggiore di 0
io direi però che non solo l'origine è un minimo perché:
2) la funzione $ln$ è crescente, di conseguenza il nostro minimo sarà il punto dove l'argomento $1+x^2y^2$ ha un minimo e cioè quando il prodotto $x^2y^2=0$, cioè lungo gli assi coordinati $y=0 vv x=0$, isn't it?
Vi ringrazio a entrambi per le precisazioni: quindi in generale, per la richiesta di determinazione di punti critici e loro natura, laddove il valore dell'Hessiano sia zero, si procede come sopra, con le rette, limiti e quant'altro.
In questo caso a me penso serva solamente trovarne uno di punto per essere in grado di confutare l'affermazione iniziale
Grazie comunque, ci ragionerò sopra.
In questo caso a me penso serva solamente trovarne uno di punto per essere in grado di confutare l'affermazione iniziale

Grazie comunque, ci ragionerò sopra.
"gio73":
Ma ciao G!
Mi hai evocata e sono qui
Ciao!
2) la funzione $ln$ è crescente, di conseguenza il nostro minimo sarà il punto dove l'argomento $1+x^2y^2$ ha un minimo e cioè quando il prodotto $x^2y^2=0$, cioè lungo gli assi coordinati $y=0 vv x=0$, isn't it?
Infatti, l'argomento è la somma di due quadrati in cui assume minimo quando $xy=0$. Il bello del logaritmo reale è che ha un sacco di proprietà che spiegano che assume valore minimo quando è minimo l'argomento.
"frons79":
In questo caso a me penso serva solamente trovarne uno di punto per essere in grado di confutare l'affermazione iniziale![]()
Se intendi che basta trovare una direzione per cui il limite è diverso da quello di una(/più) altra(/e) direzione(/i), ok, sennò non ho capito il senso della frase. Ma è venerdì e dopo una settimana di lavoro posso tranquillamente essere svalvolato. A quest'ora poi!

"Zero87":
Se intendi che basta trovare una direzione per cui il limite è diverso da quello di una(/più) altra(/e) direzione(/i), ok, sennò non ho capito il senso della frase. Ma è venerdì e dopo una settimana di lavoro posso tranquillamente essere svalvolato. A quest'ora poi!
Nel senso che l'esercizio in questione è del tipo VERO/FALSO: non devo trovare i punti critici, ma solamente confermare o smentire la tesi della domanda. Quindi se la tesi è che la funzione non ammetta minimo, a me basta trovare anche solo un punto che possa definirsi di minimo e sono a posto per poter smentire la tesi iniziale. Anche se (giustamente) di punti di minimo non ce ne fosse solamente uno ma tutta una retta.
"frons79":
Nel senso che l'esercizio in questione è del tipo VERO/FALSO: non devo trovare i punti critici, ma solamente confermare o smentire la tesi della domanda. Quindi se la tesi è che la funzione non ammetta minimo, a me basta trovare anche solo un punto che possa definirsi di minimo e sono a posto per poter smentire la tesi iniziale. Anche se (giustamente) di punti di minimo non ce ne fosse solamente uno ma tutta una retta.
Non avevo capito e rileggendo l'avevi scritto anche nel primo post. Si vede che ho inavvertitamente letto una cosa per un'altra in uno di quei casi dove il cervello per qualche motivo seleziona quello che vuole in un testo.
Vale comunque quanto detto all'inizio, cioè se vedi che con le direzioni non vai da nessuna parte dopo averne provate alcune, puoi cambiare punto (se sai che c'è criticità su tutta una retta, anzi due) oppure provare il metodo classico.
Oppure il metodo gio73 dove con alcune osservazioni lo risolvi uguale; un metodo usato anche dal sottoscritto e che per alcuni esercizi funziona.
