Hessiano nullo e disequazioni in più variabili
Nello studio dei massimi e minimi relativi, in particolare nel caso dell'hessiano nullo, ho trovato difficoltà nella risoluzione di alcuni esercizi.
Il procedimento utilizzato dal nostro professore prevede che si studi la seguente disequazione per verificare la presenza di un massimo o un minimo nel punto sospetto: $f(x,y)>f(x_0,y_0)$.
Nel caso in cui questa disequazione sia di primo grado, la regione di piano che verifica la diseguaglianza viene facilmente individuata rappresentando una retta e considerando lo spazio al di sopra o al di sotto di essa, a seconda del segno della disequazione stessa. Anche nelle disequazioni di secondo grado la soluzione è immediata, grazie allo studio della parabola.
Il problema si presenta quando ci si trova di fronte a disequazioni di terzo o quarto grado, in quanto non potendo ricollegare il polinomio ad una figura geometrica elementare, non sono neanche in grado di attribuire il segno alle varie regioni di piano e quindi ricollegarmi alla determinazione del tipo di punto (massimo, minimo o di sella).
Come devo procedere in questo caso ?
Il procedimento utilizzato dal nostro professore prevede che si studi la seguente disequazione per verificare la presenza di un massimo o un minimo nel punto sospetto: $f(x,y)>f(x_0,y_0)$.
Nel caso in cui questa disequazione sia di primo grado, la regione di piano che verifica la diseguaglianza viene facilmente individuata rappresentando una retta e considerando lo spazio al di sopra o al di sotto di essa, a seconda del segno della disequazione stessa. Anche nelle disequazioni di secondo grado la soluzione è immediata, grazie allo studio della parabola.
Il problema si presenta quando ci si trova di fronte a disequazioni di terzo o quarto grado, in quanto non potendo ricollegare il polinomio ad una figura geometrica elementare, non sono neanche in grado di attribuire il segno alle varie regioni di piano e quindi ricollegarmi alla determinazione del tipo di punto (massimo, minimo o di sella).
Come devo procedere in questo caso ?
Risposte
Dipende: non c'è un metodo standard. Prova a postare qualche esempio.
$3x^4+y^4+4x^3y>0$
A volte quando si ha un prodotto, o quando mettendo in evidenza ci si può ricondurre comunque ad ad esso, è sufficiente utilizzare la legge dell'annullamento del prodotto. In questo caso però non è possibile, come si procede ?
A volte quando si ha un prodotto, o quando mettendo in evidenza ci si può ricondurre comunque ad ad esso, è sufficiente utilizzare la legge dell'annullamento del prodotto. In questo caso però non è possibile, come si procede ?
up
In questo caso io procederei passando a coordinate polari $x=\rho\cos t,\ y=\rho\sin t$ da cui
$g(\rho,t)=\rho^4(3\cos^4 t+\sin^4 t+4\cos^3 t\sin t)$
e osservando che basta studiare la funzione tra parentesi per determinare il segno (che cambierà al variare di $t$).
$g(\rho,t)=\rho^4(3\cos^4 t+\sin^4 t+4\cos^3 t\sin t)$
e osservando che basta studiare la funzione tra parentesi per determinare il segno (che cambierà al variare di $t$).
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