Hessiano nullo - difficltà nello studio del segno
Salve a tutti,
ho guardato gli esercizi già risolti sul forum ma continuo a trovare difficoltà nello studio del segno di una funzione di cui voglio determinare la natura di un punto stazionario ad hessiano nullo.
$ f(x,y)=(x^3y)/3+(1/2)x^2y+(1/2)y^2 $
Tra i punti stazionari trovati quello per cui ho trovato l'hessiano nullo è P1=(0,0)
Dovrei ora studiare il segno della funzione ma non riesco ad andare avanti poichè non riesco a ricondurmi a luoghi geometrici noti (non so se mi sono spiegato).
Ho cioè posto $ (x^3y)/3+(1/2)x^2y+(1/2)y^2>= 0 $
ho poi raccolto y ma non so più come continuare.
Grazie della disponibilità e dell'aiuto.
ho guardato gli esercizi già risolti sul forum ma continuo a trovare difficoltà nello studio del segno di una funzione di cui voglio determinare la natura di un punto stazionario ad hessiano nullo.
$ f(x,y)=(x^3y)/3+(1/2)x^2y+(1/2)y^2 $
Tra i punti stazionari trovati quello per cui ho trovato l'hessiano nullo è P1=(0,0)
Dovrei ora studiare il segno della funzione ma non riesco ad andare avanti poichè non riesco a ricondurmi a luoghi geometrici noti (non so se mi sono spiegato).
Ho cioè posto $ (x^3y)/3+(1/2)x^2y+(1/2)y^2>= 0 $
ho poi raccolto y ma non so più come continuare.
Grazie della disponibilità e dell'aiuto.
Risposte
Prova a considerare la restrizione \(f(x, -x^2)\).
Ti riferisci all'uso del metodo delle restrizioni?
Ma in quel caso non devo trovare due rette per le quali le restrizioni della funzione presentano un punto estremante di nature diverse (cioè da una parte minimo, dall'altra massimo)?
Ma in quel caso non devo trovare due rette per le quali le restrizioni della funzione presentano un punto estremante di nature diverse (cioè da una parte minimo, dall'altra massimo)?
Non ha importanza che la restrizione sia lungo una retta.
Supponiamo, come in questo caso, che nel punto critico in questione la funzione sia nulla. Una volta che sei in grado di dimostrare che, in ogni intorno di tale punto, la funzione assume valori sia positivi che negativi, per definizione il punto non è di estremo locale.
Supponiamo, come in questo caso, che nel punto critico in questione la funzione sia nulla. Una volta che sei in grado di dimostrare che, in ogni intorno di tale punto, la funzione assume valori sia positivi che negativi, per definizione il punto non è di estremo locale.
Ok, quindi restringendo la funzione come hai suggerito otterrei:
$ f(x,y)= -x^5/3-x^4/2-x^2/2=-2x^5-3x^4-3x^2 $
A questo punto dovrei studiare il segno: $ -2x^5-3x^4-3x^2>=0 hArr -x^2(2x^3+3x^2+3)>=0 $
E' corretto?
$ f(x,y)= -x^5/3-x^4/2-x^2/2=-2x^5-3x^4-3x^2 $
A questo punto dovrei studiare il segno: $ -2x^5-3x^4-3x^2>=0 hArr -x^2(2x^3+3x^2+3)>=0 $
E' corretto?
"deneb18":
Ok, quindi restringendo la funzione come hai suggerito otterrei:
$ f(x,y)= -x^5/3-x^4/2-x^2/2=-2x^5-3x^4-3x^2 $
A questo punto dovrei studiare il segno: $ -2x^5-3x^4-3x^2>=0 hArr -x^2(2x^3+3x^2+3)>=0 $
E' corretto?
No; la restrizione è
\[
f(x, -x^2) = -x^5/3 - x^4/4 + x^4/4.
\]
Scusa lo strafalcione, ho sostituito male.
E quindi ottenendo $ f(x,-x^2)=-x^5/3 $
basta poi studiare il segno per vedere che in ogni intorno intorno del punto x=0 la funzione assume valori sia positivi che negativi e posso dire per definizione che il punto non è di estremo locale. Giusto?
E quindi ottenendo $ f(x,-x^2)=-x^5/3 $
basta poi studiare il segno per vedere che in ogni intorno intorno del punto x=0 la funzione assume valori sia positivi che negativi e posso dire per definizione che il punto non è di estremo locale. Giusto?
Giusto.
E quindi non essendo di estremo locale sarà di sella.
Grazie per la disponibilità e la pazienza!
Grazie per la disponibilità e la pazienza!
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