Hessiano nullo con parametro
Ciao ragazzi, devo svolgere questo esercizio e mi trovo un pochino in difficoltà.
A seconda del valore di a in R, trovare i punti critici di g e dire se sono massimi e minimi relativi.
$g(x,y)=(x^2-y-1)^2+a(x^2-1)^2$
Ora io ho trovato i punti critici e per il punto $(0,-1)$ ottengo un Hessiano nullo..in particolare la matrice è semidefinita positiva quindi il punto potrebbe essere un minimo relativo.
Ora per $a=0$ ,$g(x,y)>=0$ quindi il punto è minimo relativo.
Come procedo per gli altri valori di a? Voglio stimare andando a guardare il segno di $g(x,y)-g(0,-1)$.
Grazie mille!!
A seconda del valore di a in R, trovare i punti critici di g e dire se sono massimi e minimi relativi.
$g(x,y)=(x^2-y-1)^2+a(x^2-1)^2$
Ora io ho trovato i punti critici e per il punto $(0,-1)$ ottengo un Hessiano nullo..in particolare la matrice è semidefinita positiva quindi il punto potrebbe essere un minimo relativo.
Ora per $a=0$ ,$g(x,y)>=0$ quindi il punto è minimo relativo.
Come procedo per gli altri valori di a? Voglio stimare andando a guardare il segno di $g(x,y)-g(0,-1)$.
Grazie mille!!
Risposte
Devo aver fatto qualche errore di calcolo perché come punto critico mi viene $P(+1;0)$, puoi farmi vedere i tuoi conti?
In realtà i punti critici sono 3: $(1,0),(-1,0),(0,-1)$..io però incontro problemi con $(0,-1)$. Se proprio devo, ti scrivo tutti i calcoli 
Ok scrivo io
$f_x=4x^3-4xy-4x+2ax-2a$
$f_y=-2x^2+2y+2$
A mio modo di vedere, ma potrei sbagliarmi di grosso, nel punto $P'(0;-1)$ il gradiente diventa
$(-2a;0)$, di conseguenza si annulla solo se $a=0$, diversamente non abbiamo un punto critico.
Controlla per favore il mio risultato per $P(+1;0)$, se $a>0$ un minimo, se $a<0$ una sella
$f_x=4x^3-4xy-4x+2ax-2a$
$f_y=-2x^2+2y+2$
A mio modo di vedere, ma potrei sbagliarmi di grosso, nel punto $P'(0;-1)$ il gradiente diventa
$(-2a;0)$, di conseguenza si annulla solo se $a=0$, diversamente non abbiamo un punto critico.
Controlla per favore il mio risultato per $P(+1;0)$, se $a>0$ un minimo, se $a<0$ una sella
Scusami ma $f_x=4x^3(1+a)-4x(1+a)-4xy$??
Perdonami, mi sono accorta di un errore nella traccia dell' esercizio...
Perdonami, mi sono accorta di un errore nella traccia dell' esercizio...
Si vede che sbaglio qualcosa, controlla tu
$f(x;y)=(x^2-y-1)^2+a(x-1)^2$
$f_x=2(x^2-y-1)(2x)+2a(x-1)(1)=4x^3-4xy-4x+2ax-2a$
$f(x;y)=(x^2-y-1)^2+a(x-1)^2$
$f_x=2(x^2-y-1)(2x)+2a(x-1)(1)=4x^3-4xy-4x+2ax-2a$
$g(x,y)=(x^2-y-1)^2+a(x^2-1)^2$ manca il quadrato della x dove c' è a !
$g_x=2(x^2-y-1)(2x)+2a(x^2-1)(2x)=4x[(x^2-y-1)+a(x^2-1)]=4x^3-4xy-4x+4ax^3-4ax=4x^3(1+a)-4x(1+a)-4xy$
sono d'accordo con i tuoi conti
sono d'accordo con i tuoi conti
Perfetto! Ora come procedo?
Bisogna fare una distinzione...se $a=0$ c'è tutta una parabola di punti critici $y=x^2-1$
In quel caso la tua funzione $g(x,y)=(x^2-y-1)^2>=0$ sempre e quindi i punti di quella parabola sono tutti minimi!
Ora vediamo i restanti casi.
Il punto $(0,-1)$ che ti crea problemi ha questo hessiano $((-4a,0),(0,2))$ e il determinante è $-8a$. Quindi se $a>0$ il punto è di sella, mentre se $a<0$ il punto è di minimo. Per $a=0$ ne abbiamo già discusso prima
In quel caso la tua funzione $g(x,y)=(x^2-y-1)^2>=0$ sempre e quindi i punti di quella parabola sono tutti minimi!
Ora vediamo i restanti casi.
Il punto $(0,-1)$ che ti crea problemi ha questo hessiano $((-4a,0),(0,2))$ e il determinante è $-8a$. Quindi se $a>0$ il punto è di sella, mentre se $a<0$ il punto è di minimo. Per $a=0$ ne abbiamo già discusso prima
"melli13":
Bisogna fare una distinzione...se $a=0$ c'è tutta una parabola di punti critici $y=x^2-1$
In quel caso la tua funzione $g(x,y)=(x^2-y-1)^2>=0$ sempre e quindi i punti di quella parabola sono tutti minimi!
Ora vediamo i restanti casi.
Il punto $(0,-1)$ che ti crea problemi ha questo hessiano $((-4a,0),(0,2))$ e il determinante è $-8a$. Quindi se $a>0$ il punto è di sella, mentre se $a<0$ il punto è di minimo. Per $a=0$ ne abbiamo già discusso prima
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