Hessiano Nullo
Salve ho questa funzione \(\displaystyle 8/x+x/y+y \) ddevo trovare i punti critici
Ho fatto le due derivate parziale \(\displaystyle fx=-8/x^2 \) e \(\displaystyle fy=-x/y^2 \) si annullano nel punto \(\displaystyle (0,0) \) ho utilizzato la matrice hessiana e ho notato che il determinante nel punto \(\displaystyle (0,0) \) risulta essere \(\displaystyle 0 \) e quindi visto che non si può definire ho considerato \(\displaystyle f(x,y)-f(0,0)=8/x+x/y+y \) e loho posta > di zero ma qui mi sono bloccato mi aiutate grazie
Ho fatto le due derivate parziale \(\displaystyle fx=-8/x^2 \) e \(\displaystyle fy=-x/y^2 \) si annullano nel punto \(\displaystyle (0,0) \) ho utilizzato la matrice hessiana e ho notato che il determinante nel punto \(\displaystyle (0,0) \) risulta essere \(\displaystyle 0 \) e quindi visto che non si può definire ho considerato \(\displaystyle f(x,y)-f(0,0)=8/x+x/y+y \) e loho posta > di zero ma qui mi sono bloccato mi aiutate grazie
Risposte
Le derivate parziali sono sbagliate...Del resto il punto \(\displaystyle (0,0) \) non fa parte del dominio della funzione. L'unico punto critico esistente è \(\displaystyle (4,2) \) che è un punto di minimo relativo ,con minimo \(\displaystyle = 6 \). Può essere interessante notare che, per \(\displaystyle x>0 , y>0 \), allo stesso risultato si arriva elementarmente con l'uso di AM-GM. Risulta infatti :
\(\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{x}{y}+y\geq 3\sqrt[3]{\frac{8}{x}\cdot\frac{x}{y}\cdot y}=6\)
L'eguaglianza ( ovvero il minimo della funzione ) si raggiunge per \(\displaystyle \frac{8}{x}=\frac{x}{y}=y \) che porta appunto a \(\displaystyle x=4,y=2 \)
\(\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{x}{y}+y\geq 3\sqrt[3]{\frac{8}{x}\cdot\frac{x}{y}\cdot y}=6\)
L'eguaglianza ( ovvero il minimo della funzione ) si raggiunge per \(\displaystyle \frac{8}{x}=\frac{x}{y}=y \) che porta appunto a \(\displaystyle x=4,y=2 \)
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