Hessiano nullo
Salve ragazzi avrei bisogno di un chiarimento e una siegazione teorica.Sto studiando i massimi e i minimi relativi.Ho già esaminato i casi in cui mediante il determinante della matrice Hessiana si può determinare se un punto è di massimo o di minimo relativo oppure si tratta di un punto di sella.Ora il mio problema è quando l'hessiano è nullo.So da appunti che mi ha dato la professoressa durante il corso che dovrei sostituire il punto nella funzione,ottenuto tale valore sottrarlo alla funzione di partenza e studiarne il segno.Ma come faccio graficamente a capire che si tratta di un massimo di un minimo o di un punto di sella? Grazie a tutti per le eventuali risposte...
Risposte
La spiegazione della prof non è proprio utilissima.
Comunque, cosa vuol dire che vuoi capire graficamente di cosa si tratta ? Perchè tu di solito disegni le funzioni a più variabili ?
Comunque, cosa vuol dire che vuoi capire graficamente di cosa si tratta ? Perchè tu di solito disegni le funzioni a più variabili ?
io vado a studiare il segno della funzione, dunque dovrei avere punti della funzione in cui è positiva ed altri in cui è negativa.Vorrei capire come si può determinare in questo modo graficamente un punto di massimo o di minimo relativo.Va bene anche una spiegazione elementare e banale.Vorrei anche capire dove si può affermare che il punto in considerazione è di sella...
teorema di weierstress: "una funzione continua su un compatto ammesse massimo E minimo"
se hai una funzione scalare di due variabili, e su un piano cartesiano riesci a trovare in quali porzioni essa è negativa e positiva. quelle porzioni chiuse in cui la funzione è continua e ha sempre uno stesso segno, sono insiemi compatti sulla cui frontiera la funzione è nulla.
in ognuno di quegli insiemi CHIUSI vale weierstrass, e quindi la funzione deve necessariamente ammettere estremante in un punto interno ad esso (l'altro estremante è la frontiera).
se ho frainteso quel di cui hai bisogno, chiedo scusa
quanto detto comunque vale.
se hai una funzione scalare di due variabili, e su un piano cartesiano riesci a trovare in quali porzioni essa è negativa e positiva. quelle porzioni chiuse in cui la funzione è continua e ha sempre uno stesso segno, sono insiemi compatti sulla cui frontiera la funzione è nulla.
in ognuno di quegli insiemi CHIUSI vale weierstrass, e quindi la funzione deve necessariamente ammettere estremante in un punto interno ad esso (l'altro estremante è la frontiera).
se ho frainteso quel di cui hai bisogno, chiedo scusa
quanto detto comunque vale.
Magari provo a postare un esercizio cosi si capisce meglio il problema.Devo determinare e classificare gli eventuali punti critici della seguente funzione.
$f(x,y)=x^3+xy^2-x^2y-y^3$.Calcolando le derivate parziali una volta rispetto a x, e una volta rispetto a y,uguagliandole a zero e mettendole a sistema è scontato che l'unico punto critico da prendere in considerazione è $(0,0)$.Ora
dagli appunti del corso di analisi 2,Dato che l hessiano del punto considerato è uguale a zero non si può dire niente.Bisogna allora studiare il segno della funzione: $f(x,y)-f(x0,y0)$ dove x0 e y0 sono l ascissa e l ordinata del punto critico da classificare.Dato che la funzione di partenza si annulla si dovrà (semplificando) studiare il segno di:
$(x-y)(x^2+y^2)>0$ che sarà maggiore di zero se e solo se $(x-y)>0$.La mia domanda è arrivati a questo punto una volta effettuato il grafico come si fa a classificare il punto? Come faccio a capire se si tratta di un minimo o di un massimo relativo o addirittura di un punto di sella? Grazie
$f(x,y)=x^3+xy^2-x^2y-y^3$.Calcolando le derivate parziali una volta rispetto a x, e una volta rispetto a y,uguagliandole a zero e mettendole a sistema è scontato che l'unico punto critico da prendere in considerazione è $(0,0)$.Ora
dagli appunti del corso di analisi 2,Dato che l hessiano del punto considerato è uguale a zero non si può dire niente.Bisogna allora studiare il segno della funzione: $f(x,y)-f(x0,y0)$ dove x0 e y0 sono l ascissa e l ordinata del punto critico da classificare.Dato che la funzione di partenza si annulla si dovrà (semplificando) studiare il segno di:
$(x-y)(x^2+y^2)>0$ che sarà maggiore di zero se e solo se $(x-y)>0$.La mia domanda è arrivati a questo punto una volta effettuato il grafico come si fa a classificare il punto? Come faccio a capire se si tratta di un minimo o di un massimo relativo o addirittura di un punto di sella? Grazie
Nessuno può aiutarmi?
beh, cavolacci! la funzione è positiva se $yx$. infatti lungo la retta $y = x$, la funzione è sempre nulla (cioè tutti i punti del tipo (x, x) sono gli zeri della f).
sopra tale retta la f è negativa, sotto è positiva... è abbastanza ovvio dedurre quindi che l'unico punto (dando per buono che sia effettivamente l'unico, dato che non mi son messo a calcolare il gradiente) critico che hai trovato (0,0), poichè sta su quella retta, non può essere altro che una sella!
la spiegazione più o meno rigorosa è: se $x_0$ è un massimo (minimo), deve esistere intorno $I(x_0)$ del punto in cui, $\forall x \in I(x_0), f(x) \le (\ge) f(x_0)$.
detto in modo più grezzo: se il punto $x_0$che ti dà problemi fosse un estremante (cioè un massimo o un minimo), dovresti poter disegnare un circoletto attorno al punto in questione tale che, se consideri la funzione in ogni punto all'interno di questo circoletto, questa è maggiore (se il punto è minimo) o minore (se è massimo) del valore che essa assume nel punto $f(x_0)$.
nell'esempio in questione, NON puoi disegnare tale "circoletto" perchè nelle vicinanze di (0,0) la funzione assume sia valori positivi (se yx). quindi non può essere un estremante --> è una sella.
caput?
sopra tale retta la f è negativa, sotto è positiva... è abbastanza ovvio dedurre quindi che l'unico punto (dando per buono che sia effettivamente l'unico, dato che non mi son messo a calcolare il gradiente) critico che hai trovato (0,0), poichè sta su quella retta, non può essere altro che una sella!
la spiegazione più o meno rigorosa è: se $x_0$ è un massimo (minimo), deve esistere intorno $I(x_0)$ del punto in cui, $\forall x \in I(x_0), f(x) \le (\ge) f(x_0)$.
detto in modo più grezzo: se il punto $x_0$che ti dà problemi fosse un estremante (cioè un massimo o un minimo), dovresti poter disegnare un circoletto attorno al punto in questione tale che, se consideri la funzione in ogni punto all'interno di questo circoletto, questa è maggiore (se il punto è minimo) o minore (se è massimo) del valore che essa assume nel punto $f(x_0)$.
nell'esempio in questione, NON puoi disegnare tale "circoletto" perchè nelle vicinanze di (0,0) la funzione assume sia valori positivi (se y
caput?
Grazie...ti stimo...!
Ciao a tutti, anche io ho un problema simile con un esercizio che ho provato a risolvere ma non sono sicuro del risultato trovato.
La funzione è: \(\displaystyle \exp{-2x^4-5y^2} \) e devo stabilire se la funzione presenta in (0,0) un massimo o minimo globale, o un punto di sella. Dal calcolo del determinante dell'Hessiano questo si annulla; allora valutando
\(\displaystyle f(x,y)-f(0,0)>0 \) ottengo che \(\displaystyle x^4+5y^2<0 \) mai, e quindi concludo che (0,0) è un punto di minimo. è corretto?
Grazie mille
La funzione è: \(\displaystyle \exp{-2x^4-5y^2} \) e devo stabilire se la funzione presenta in (0,0) un massimo o minimo globale, o un punto di sella. Dal calcolo del determinante dell'Hessiano questo si annulla; allora valutando
\(\displaystyle f(x,y)-f(0,0)>0 \) ottengo che \(\displaystyle x^4+5y^2<0 \) mai, e quindi concludo che (0,0) è un punto di minimo. è corretto?
Grazie mille
Scusate l'errore, il testo della funzione in realtà è \(\displaystyle e^{-2x^4-5y^2} \).
Il resto è il procedimento che ho seguito, ma non sono troppo sicuro della conclusione.
Grazie
Il resto è il procedimento che ho seguito, ma non sono troppo sicuro della conclusione.
Grazie
tutti i passaggi son giusti, anche il ragionamento, ma c'è una "svista".
$x^4+5y^2<0$ -> $x^4<-5y^2$ -> mai, QUINDI $f(x,y) - f(0,0)>0$ MAI: la funzione valutata su qualsiasi coppia $(x,y)$ è sempre più piccola del valore $f(0,0)$. $f(0,0)$ è quindi un MASSIMO.
$x^4+5y^2<0$ -> $x^4<-5y^2$ -> mai, QUINDI $f(x,y) - f(0,0)>0$ MAI: la funzione valutata su qualsiasi coppia $(x,y)$ è sempre più piccola del valore $f(0,0)$. $f(0,0)$ è quindi un MASSIMO.
Chiarissimo. Grazie mille
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