Hessiano nullo
Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto per il seguente esercizio
Dopo lunghi calcoli trovo tre punti stazionari:$(1,0) \quad (\frac{-1-\sqrt{17}}{8},0)\quad (\frac{-1+\sqrt{17}}{8},0)$
Calcolando l'Hessiano di $f$ posso concludere solo sugli ultimi due punti, uno è di sella e uno di estremo relativo. Il punto $(1,0)$ invece ha Hessiano nullo. Siccome $f(1,0)=0$, immagino che debba sfruttare il metodo del segno... Il problema dunque, se lo sto affrontando correttamente, si riduce a risolvere questa disequazione:
$$(x^2-y^2-1)(x^2+y^2-x)\ge0$$
Non è forse eccessivo studiare il segno di tutta la funzione quando mi interessa conoscerla in un intorno di un SINGOLO punto? E poi, se io non riconoscessi quelle due coniche, come potrei risolvere la disequazione analiticamente?
Avrei bisogno di un aiuto per il seguente esercizio
Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione
reale di due variabili reali
$$f(x,y)=(x^2-y^2-1)(x^2+y^2-x)$$
Dopo lunghi calcoli trovo tre punti stazionari:$(1,0) \quad (\frac{-1-\sqrt{17}}{8},0)\quad (\frac{-1+\sqrt{17}}{8},0)$
Calcolando l'Hessiano di $f$ posso concludere solo sugli ultimi due punti, uno è di sella e uno di estremo relativo. Il punto $(1,0)$ invece ha Hessiano nullo. Siccome $f(1,0)=0$, immagino che debba sfruttare il metodo del segno... Il problema dunque, se lo sto affrontando correttamente, si riduce a risolvere questa disequazione:
$$(x^2-y^2-1)(x^2+y^2-x)\ge0$$
Non è forse eccessivo studiare il segno di tutta la funzione quando mi interessa conoscerla in un intorno di un SINGOLO punto? E poi, se io non riconoscessi quelle due coniche, come potrei risolvere la disequazione analiticamente?
Risposte
Il metodo del segno semplicemente consiste nello studiare il segno di $f$ in almeno un intorno del punto ad hessiano nullo. Se troviamo che in ogni intorno del punto $(1,0)$ la $f$ assume sia valori positivi che valori negativi, allora il punto è di sella.
Limitiamoci a studiare cosa succede per $x \ge 1$:
\[x^2-y^2-1 \ge 0 \Longrightarrow -\sqrt{x^2-1} \le y \le \sqrt{x^2-1}\]
dove $x^2-1 \ge 0$ essendo $x \ge 1$.
Inoltre:
\[x^2+y^2-x \ge 0 \Longrightarrow y^2 \ge x-x^2\]
sempre vero dato che $x-x^2 \le 0$ se $x \ge 1$.
Dunque in definitiva nel semipiano $x \ge 1$ abbiamo che:
\[f(x,y) \ge 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 | -\sqrt{x^2-1} \le y \le \sqrt{x^2-1}\]
e
\[f(x,y) \le 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \le -\sqrt{x^2-1} \quad \text{oppure} \quad y \ge \sqrt{x^2-1}\]
Dunque in ogni intorno del punto $(1,0)$ $f$ assume sia valori positivi che negativi (ti consiglio di fare un disegno), e quindi $(1,0)$ è di sella.
Purtroppo non esiste un metodo generale sicuro e sempre analiticamente percorribile per lo studio della natura dei punti ad hessiano nullo. Dipende molto dalla funzione che devi studiare.
Limitiamoci a studiare cosa succede per $x \ge 1$:
\[x^2-y^2-1 \ge 0 \Longrightarrow -\sqrt{x^2-1} \le y \le \sqrt{x^2-1}\]
dove $x^2-1 \ge 0$ essendo $x \ge 1$.
Inoltre:
\[x^2+y^2-x \ge 0 \Longrightarrow y^2 \ge x-x^2\]
sempre vero dato che $x-x^2 \le 0$ se $x \ge 1$.
Dunque in definitiva nel semipiano $x \ge 1$ abbiamo che:
\[f(x,y) \ge 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 | -\sqrt{x^2-1} \le y \le \sqrt{x^2-1}\]
e
\[f(x,y) \le 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \le -\sqrt{x^2-1} \quad \text{oppure} \quad y \ge \sqrt{x^2-1}\]
Dunque in ogni intorno del punto $(1,0)$ $f$ assume sia valori positivi che negativi (ti consiglio di fare un disegno), e quindi $(1,0)$ è di sella.
Purtroppo non esiste un metodo generale sicuro e sempre analiticamente percorribile per lo studio della natura dei punti ad hessiano nullo. Dipende molto dalla funzione che devi studiare.
Sì, mi hai proprio convinto!
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
Di nulla
Se non lo conoscessi già ti consiglio un sito online gratuito in cui puoi creare grafici 3d di funzioni in due variabili, cosi da poter farti almeno un'idea qualitativa della disposizione dei punti estremanti o di sella.
Il link è: https://www.desmos.com/calculator/nqom2ih05g
Se non lo conoscessi già ti consiglio un sito online gratuito in cui puoi creare grafici 3d di funzioni in due variabili, cosi da poter farti almeno un'idea qualitativa della disposizione dei punti estremanti o di sella.
Il link è: https://www.desmos.com/calculator/nqom2ih05g
Conoscevo solo geogebra per i grafici 3D (e 2D) però in effetti mi lagga tanto, forse troppo, per certe funzioni. Magari provo questo la prossima volta... Grazie per il consiglio!
"ValeForce":
...
Siccome $f(1,0)=0$, immagino che debba sfruttare il metodo del segno...
...
Oh, come mi diverto a spulciare (i.e.: fare le pulci)
Diciamo che immagini male. Il "metodo del segno" se così lo vogliamo chiamare, NON si applica a $f(x,y)$, ma si applica a $f(x,y) - f(x_0,y_0)$ che ovviamente in $(x_0,y_0)$ vale sempre $0$
[size=85]PS: mi autoperdono le notazioni barbare[/size]
In effetti il nome "metodo del segno" l'ho trovato girovagando su internet. Il mio professore non l'ha mai chiamato così e non l'ho trovato scritto in nessuno dei libri che consulto. Comunque è vero non mi sono espresso correttamente pur sapendo che l'esercizio si era ridotto allo studio del segno della funzione solo perché $f(x_0,y_0)=0$. 
Un altro modo per dirimere il problema è tagliare la curva con il fascio di piani $y=k(x-1)$
Ma senza analizzare il caso generale la cosa più semplice è provare con i piani $y=0$ e $x=1$ ottenendo:
$f(x)=x^4-x^3-x^2+x$ e $f(y)=-y^4$
La $f(x)$ per $x=1$ ha concavità positiva e $f'(1)=0$ quindi ha un massimo.
La $f(y)$ ha concavità negativa e $f'(0)=0$ quindi ha un minimo.
Passando da due direzioni diverse la concavità non è consistente, quindi è un punto di sella.
Ma senza analizzare il caso generale la cosa più semplice è provare con i piani $y=0$ e $x=1$ ottenendo:
$f(x)=x^4-x^3-x^2+x$ e $f(y)=-y^4$
La $f(x)$ per $x=1$ ha concavità positiva e $f'(1)=0$ quindi ha un massimo.
La $f(y)$ ha concavità negativa e $f'(0)=0$ quindi ha un minimo.
Passando da due direzioni diverse la concavità non è consistente, quindi è un punto di sella.
Il problema è che con questo metodo non è detto che si riesca a concludere qualcosa. Se non becchi la direzione giusta (qualunque essa sia) non è detto che si riesca a provare nulla.
Se il punto è un massimo o un minimo allora il metodo delle direzioni (chiamiamolo cosi) è inconcludente. Se invece il punto è di sella non è detto che lo si riesca a dimostrare, se non si scelgono le direzioni giuste (che non
è affatto detto siano lineari).
Il "metodo del segno" invece permette sempre di concludere qualcosa, a meno dei calcoli certo.
Se il punto è un massimo o un minimo allora il metodo delle direzioni (chiamiamolo cosi) è inconcludente. Se invece il punto è di sella non è detto che lo si riesca a dimostrare, se non si scelgono le direzioni giuste (che non
è affatto detto siano lineari).
Il "metodo del segno" invece permette sempre di concludere qualcosa, a meno dei calcoli certo.
"Fioravante Patrone":
[quote="ValeForce"]
...
Siccome $f(1,0)=0$, immagino che debba sfruttare il metodo del segno...
...
Oh, come mi diverto a spulciare (i.e.: fare le pulci)
Diciamo che immagini male. Il "metodo del segno" se così lo vogliamo chiamare, NON si applica a $f(x,y)$, ma si applica a $f(x,y) - f(x_0,y_0)$ che ovviamente in $(x_0,y_0)$ vale sempre $0$
[size=85]PS: mi autoperdono le notazioni barbare[/size][/quote]
Doverosa precisazione.
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