Hessiano nullo

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, ho un problema nel capire cosa avviene quando si annulla l'hessiano in un punto stazionario. Ad esempio, ho la funzione $f: RR^2 rarr RR$ definita da $f(x,y)=x^2ye^(-(x^2+y)$.

Posto $nablaf(x,y)=0$ trovo come soluzioni i seguenti punti: $A=(0, y_0)$, $B=(0,0)$, $C=(1,1)$, $D=(-1,1)$. La matrice hessiana della funzione, secondo i miei conti (ammesso e non concesso che siano esatti), è questa:

$H(x,y)=((e^-(x^2+y)(2x^4-2x^3-3x^2+1), 2x(1-x^2)(e^-(x^2+y)-ye^-(x^2+y))),(2x(1-x^2)(e^-(x^2+y)-ye^-(x^2+y)), -x^2e^-(x^2+y)(2-y)))$

Quindi, valutandola nei vari punti, trovo che $C$ è un massimo relativo e $D$ è una sella. Tuttavia sia $A$ che $B$ sono casi di indecisione. Come mi dovrei comportare in questi casi?

[anonymous_0b37e9]

Intanto, mentre i punti critici sono corretti, hai senz'altro sbagliato $f_(x x)$:

$[f(x,y)=x^2ye^(-x^2-y)] rarr$

$rarr [f_x=2xy(1-x^2)e^(-x^2-y)] ^^ [f_y=x^2(1-y)e^(-x^2-y)] rarr$

$rarr [f_(x x)=2y(2x^4-5x^2+1)e^(-x^2-y)] ^^ [f_(y y)=x^2(y-2)e^(-x^2-y)] ^^ [f_(x y)=2x(x^2-1)(y-1)e^(-x^2-y)]$

Inoltre:

$[H(-1,1)=((-4e^-2,0),(0,-e^-2))] rarr [(-1,1)$ è un massimo relativo$]$

$[H(1,1)=((-4e^-2,0),(0,-e^-2))] rarr [(1,1)$ è un massimo relativo$]$

$[H(0,y)=((2ye^-y,0),(0,0))]$

Quindi, per quanto riguarda i punti critici $(0,y)$, lo studio della matrice hessiana non è sufficiente. A questo punto, visto che $[f(0,y)=0]$, ti consiglio di studiare il segno della funzione in un intorno del punto $(0,y)$ distinguendo tre casi:

$[y lt 0] vv [y=0] vv [y gt 0]$

[Gustav Wittgenstein]

Se ho capito bene, quindi, considero la disequazione $x^2ye^(-x^2y)>0$. Si vede subito che il segno dipende solo da $y$, quindi si ha che $(0,y_0)$ è un punto di massimo se $y_0<0$, è una sella se $y_0=0$, ed è un minimo se $y_0>0$.

[anonymous_0b37e9]

Certamente.

[Gustav Wittgenstein]

Perfetto, grazie!