Hessiano nullo
ciao a tutti,
la funzione $f(x,y)=x^2+2y^2+y^3-4xy$ presenta dei punti stazioneari in
$(0,0)=$punto di sella
$(8/3,4/3)=$hessiano nullo
per quest ultimo ho provato ad utilizzare il metodo del segno:
la funzione variazione risulta $\Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(8/3,4/3)$
$=x^2+2y^2+y^3-4xy+32/27$
ora devo risolvere la disequazione $\Deltaf(x,y)>=0$
ma non riesco a giungere a nessuna conclusione. Secondo voi devo utilizzare un altro metodo?
la funzione $f(x,y)=x^2+2y^2+y^3-4xy$ presenta dei punti stazioneari in
$(0,0)=$punto di sella
$(8/3,4/3)=$hessiano nullo
per quest ultimo ho provato ad utilizzare il metodo del segno:
la funzione variazione risulta $\Deltaf(x,y)=f(x,y)-f(8/3,4/3)$
$=x^2+2y^2+y^3-4xy+32/27$
ora devo risolvere la disequazione $\Deltaf(x,y)>=0$
ma non riesco a giungere a nessuna conclusione. Secondo voi devo utilizzare un altro metodo?
Risposte
Ciao eos.s,
la scelta del metodo da applicare non è sbagliata, infatti, se guardi a
$Deltaf(x, 4/3) = x^2 -16/3x+64/9$
noti che è sempre positivo, tranne in $(8/3, 4/3)$
L'idea è semplice:
Abbiamo guardato come si comporta l'incremento della funzione subito prima e subito dopo il nostro punto critico (facendo variare solo la $x$, quindi è come si ci fossimo messi sul punto critico e avessimo guardato subito prima e subito dopo).
Siccome abbiamo trovato almeno un intorno del punto critico in cui $Deltaf$ è positiva in ogni punto $(x,y)!=(x_0,y_0)$, allora $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo. (In parole povere, siccome l'incremento non può che aumentare, è ovvio che quel punto non può che essere un minimo!)
Spero di essere stato chiaro.
la scelta del metodo da applicare non è sbagliata, infatti, se guardi a
$Deltaf(x, 4/3) = x^2 -16/3x+64/9$
noti che è sempre positivo, tranne in $(8/3, 4/3)$
L'idea è semplice:
Abbiamo guardato come si comporta l'incremento della funzione subito prima e subito dopo il nostro punto critico (facendo variare solo la $x$, quindi è come si ci fossimo messi sul punto critico e avessimo guardato subito prima e subito dopo).
Siccome abbiamo trovato almeno un intorno del punto critico in cui $Deltaf$ è positiva in ogni punto $(x,y)!=(x_0,y_0)$, allora $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo. (In parole povere, siccome l'incremento non può che aumentare, è ovvio che quel punto non può che essere un minimo!)
Spero di essere stato chiaro.
grazie davvero, molto chiaro 
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