Hessiano Nullo
Salve a tutti,
Vorrei una mano riguardo quest'esercizio in cui bisogna trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi:
$f(x,y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3$
Ponendo il gradiente uguale a 0 ottengo ottengo i punti critici $P_1=(0,y)$, $P_2=(x,0)$, $P_3=(1/2,1/3)$
Quindi andando a svolgere l'hessiano nel primo punto ottengo che
$H^2f(1/2,1/3)<0$ quindi è un sella
mentre i problemi sorgono nei punti $(0,y)$ e $(x,0)$ in cui essendo rette ad infiniti punti con hessiano nullo non ho la più pallida idea come procedere
Dovrei fare per quanto riguarda $(0,y)$ essendo la retta $y$ che divide la funzione in due connessi quindi vado a studiare due punti qualunque dei quadranti destro e sinistro e quindi a seconda del segno posso dire che la retta è un insieme infinito di punti di minimo massimo o sella o sono fuori strada ?
Vorrei una mano riguardo quest'esercizio in cui bisogna trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi:
$f(x,y)=x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3$
Ponendo il gradiente uguale a 0 ottengo ottengo i punti critici $P_1=(0,y)$, $P_2=(x,0)$, $P_3=(1/2,1/3)$
Quindi andando a svolgere l'hessiano nel primo punto ottengo che
$H^2f(1/2,1/3)<0$ quindi è un sella
mentre i problemi sorgono nei punti $(0,y)$ e $(x,0)$ in cui essendo rette ad infiniti punti con hessiano nullo non ho la più pallida idea come procedere
Dovrei fare per quanto riguarda $(0,y)$ essendo la retta $y$ che divide la funzione in due connessi quindi vado a studiare due punti qualunque dei quadranti destro e sinistro e quindi a seconda del segno posso dire che la retta è un insieme infinito di punti di minimo massimo o sella o sono fuori strada ?
Risposte
Ti ringrazio per l'aiuto,
Rifacendo i conti ho notato che nel punto $(1/2,1/3)$ c'era un massimo relativo e non un sella come hai detto tu
Però non ho capito bene la seconda parte da te spiegata cioè come fai a vedere ad esempio che :
"notando che $f(0,t)≥f(x,y)$ nell'intorno sinistro dei punti $(0,t)$ per $t<0$ e nell'intorno destro dei punti $(0,t)$ per $t>0$ "
cioè che calcolo bisogna fare per vedere se è maggiore o minore? perchè anche se vado a sostituire $f(0,t)=0$ come faccio a capire che nell'intorno sinistro dei punti $(0,t)$ è $>= f(x,y)$ ? cioè stiamo parlando del secondo e terzo quadrante dove la x è sempre negativa ma la y è sia negativa che positiva e quindi non so sostituire
quindi non avendo capito questo non ho capito il tuo ragionamento
Rifacendo i conti ho notato che nel punto $(1/2,1/3)$ c'era un massimo relativo e non un sella come hai detto tu
Però non ho capito bene la seconda parte da te spiegata cioè come fai a vedere ad esempio che :
"notando che $f(0,t)≥f(x,y)$ nell'intorno sinistro dei punti $(0,t)$ per $t<0$ e nell'intorno destro dei punti $(0,t)$ per $t>0$ "
cioè che calcolo bisogna fare per vedere se è maggiore o minore? perchè anche se vado a sostituire $f(0,t)=0$ come faccio a capire che nell'intorno sinistro dei punti $(0,t)$ è $>= f(x,y)$ ? cioè stiamo parlando del secondo e terzo quadrante dove la x è sempre negativa ma la y è sia negativa che positiva e quindi non so sostituire
quindi non avendo capito questo non ho capito il tuo ragionamento
Ok adesso mi è molto più chiaro
Ho un ultimo dubbio per vedere se nelle zone colorate la funzione è maggiore o minore di zero è lecito considerato il grafico diviso in 7 connessi in ognuno dei quali la funzione e costante e quindi prendendo 7 punti ognuno dei quali si trova in una delle sette zone la funzione sia maggiore di zero o minore di zero ?
(l'ho diviso in 7 facendo l'intersezione prendendo tutte e 3 le rette y=0,x=0,y=-x+1)
O hai usato un metodo più veloce e pratico ?
Ho un ultimo dubbio per vedere se nelle zone colorate la funzione è maggiore o minore di zero è lecito considerato il grafico diviso in 7 connessi in ognuno dei quali la funzione e costante e quindi prendendo 7 punti ognuno dei quali si trova in una delle sette zone la funzione sia maggiore di zero o minore di zero ?
(l'ho diviso in 7 facendo l'intersezione prendendo tutte e 3 le rette y=0,x=0,y=-x+1)
O hai usato un metodo più veloce e pratico ?
ahahahahaa ok grazie ancora XD
Se invece ho la funzione :
$f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$
con il metodo del segno non riesco a trovare in $(0,0)$ (ovviamente ad hessiano nullo) che punto è
cioè ho fatto così:
$f(x,y)-f(x_o,y_o)=0$
$=x^2(2x^2-1)+y^2(2y^2-1)-2xy=0 $
cioè quando:
$x=+- 1/sqrt(2), y=+- 1/sqrt(2), x=0, y=0$
adesso ottengo 16 connessi purtroppo però non posso riportare il grafico
Dimmi se ho sbagliato o no
$f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2$
con il metodo del segno non riesco a trovare in $(0,0)$ (ovviamente ad hessiano nullo) che punto è
cioè ho fatto così:
$f(x,y)-f(x_o,y_o)=0$
$=x^2(2x^2-1)+y^2(2y^2-1)-2xy=0 $
cioè quando:
$x=+- 1/sqrt(2), y=+- 1/sqrt(2), x=0, y=0$
adesso ottengo 16 connessi purtroppo però non posso riportare il grafico
Dimmi se ho sbagliato o no
Ok,quindi se è facile da disegnare si pone $\triangle f (x,y) = 0$ sennò si cerca una restrizione e sulle restrizione si vede se c'è un minimo o un massimo
I calcoli mi sono chiari però non ho capito una cosa, nel grafico non avresti dovuto rappresentare:
$f(x,y) -f(x_o-y_o)=0$
cioè:
$x^2(2x^2-1)+y^2(2y^2-1)-2xy=0$
e quindi le rette:
$x=+- 1/sqrt(2), y=+- 1/sqrt(2), x=0, y=0$ cioè 6 rette ? perchè ti sono venute due curve ?
I calcoli mi sono chiari però non ho capito una cosa, nel grafico non avresti dovuto rappresentare:
$f(x,y) -f(x_o-y_o)=0$
cioè:
$x^2(2x^2-1)+y^2(2y^2-1)-2xy=0$
e quindi le rette:
$x=+- 1/sqrt(2), y=+- 1/sqrt(2), x=0, y=0$ cioè 6 rette ? perchè ti sono venute due curve ?
Ah ecco! Grazie mille
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