Hessiano nullo
salve,
vorrei cercare di capire quali sono i metodi per la ricerca dei punti di massimo, minimo o sella per le funzioni di due variabili in caso di hessiano nullo
...
In questo caso: $ f(x,y)= 2(x+y)^2-x^4-y^4 $
Ho trovato questi 3 punti: $ P1(0,0); P2(-sqrt2, -sqrt2); P3(sqrt2, sqrt2) $. Gli ultimi due, sono entrambi punti di massimo relativo. L'hessiano nullo entra in gioco per quanto riguarda l'origine.
Come si procede in questi casi? esistono diversi metodi?
Grazie
vorrei cercare di capire quali sono i metodi per la ricerca dei punti di massimo, minimo o sella per le funzioni di due variabili in caso di hessiano nullo
...In questo caso: $ f(x,y)= 2(x+y)^2-x^4-y^4 $
Ho trovato questi 3 punti: $ P1(0,0); P2(-sqrt2, -sqrt2); P3(sqrt2, sqrt2) $. Gli ultimi due, sono entrambi punti di massimo relativo. L'hessiano nullo entra in gioco per quanto riguarda l'origine.
Come si procede in questi casi? esistono diversi metodi?
Grazie
Risposte
nel 99% dei casi si arriva a dimostrare che il punto in questione è di sella
anche questa volta l'osservazione del comportamento della funzione sulle rette $y=x;y=-x$ sembra non smentire la consuetudine
anche questa volta l'osservazione del comportamento della funzione sulle rette $y=x;y=-x$ sembra non smentire la consuetudine
Se uso le sostituzioni da Te consigliate, derivo le funzioni $ f(x,x) $ e $ f(x,-x) $ e studio la derivata.
Per $ f'(x,x) $ ho due soluzioni: $ x>0 $ e $ -sqrt2
Per $ f'(x,-x) $ ho solamente $ x<0 $ come soluzione.
Da cosa deduco che l'origine rappresenta un punto di sella? Dal fatto che prima abbiamo $ x>0 $ e dopo un $ x<0 $ ? 
Comunque, come faccio a capire quali sostituzioni effettuare? Cioè, In caso di Hessiano nullo faccio sempre le stesse sostituzioni oppure devo variare in base all'esercizio?
Grazie
Per $ f'(x,x) $ ho due soluzioni: $ x>0 $ e $ -sqrt2
Per $ f'(x,-x) $ ho solamente $ x<0 $ come soluzione.
Da cosa deduco che l'origine rappresenta un punto di sella? Dal fatto che prima abbiamo $ x>0 $ e dopo un $ x<0 $ ?
Comunque, come faccio a capire quali sostituzioni effettuare? Cioè, In caso di Hessiano nullo faccio sempre le stesse sostituzioni oppure devo variare in base all'esercizio?
Grazie
sulla retta $y=-x$ la funzione coincide con la funzione $g(x)=-2x^4$ che assume valori negativi in ogni intorno dell'origine
sulla retta $y=x$ la funzione coincide con la funzione $h(x)=8x^2-2x^4$ che assume valori positivi in ogni intorno dell'origine
quindi ,$(0,0)$ è un punto di sella
non bisogna considerare sempre le stesse curve : bisogna avere un po'di occhio nel vedere quelle che fanno al nostro caso
ripeto,per mia esperienza,quasi nella totalità dei casi si ha a che fare con un punto di sella perchè è la cosa più facile da dimostrare e chi inventa gli esercizi non è poi così cattivo come vuol sembrare
sulla retta $y=x$ la funzione coincide con la funzione $h(x)=8x^2-2x^4$ che assume valori positivi in ogni intorno dell'origine
quindi ,$(0,0)$ è un punto di sella
non bisogna considerare sempre le stesse curve : bisogna avere un po'di occhio nel vedere quelle che fanno al nostro caso
ripeto,per mia esperienza,quasi nella totalità dei casi si ha a che fare con un punto di sella perchè è la cosa più facile da dimostrare e chi inventa gli esercizi non è poi così cattivo come vuol sembrare
"quantunquemente":
sulla retta $ y=-x $ la funzione coincide con la funzione $ g(x)=-2x^4 $ che assume valori negativi in ogni intorno dell'origine
sulla retta $ y=x $ la funzione coincide con la funzione $ h(x)=8x^2-2x^4 $ che assume valori positivi in ogni intorno dell'origine
quindi ,$ (0,0) $ è un punto di sella
quindi non c'è alcun bisogno di derivare $ f(x,-x) $ e $ f(x,x) $ ....
In un altro esercizio (trovato in rete) con hessiano nullo, per affemare che l'origine era un punto di minimo si studiava la derivata prima delle seguenti funzioni $ f(x,x) $ e $ f(-x,-x) $
POR QUE'
Grazie
metti l'intero esercizio, magari si tratta solo di un errore di battitura...
"gio73":
metti l'intero esercizio, magari si tratta solo di un errore di battitura...
$ f(x,y)= x^4+x^2y+y^2 $ ;
$ f(x,x)= x^4+x^3+x^2 $ e $ f(-x,-x)= x^4-x^3+x^2 $
Poi c'era lo studio delle due derivate e in entrambi i casi si otteneva un punto di minimo....quindi l'origine era un punto di minimo relativo
cioè,secondo quanto da te riportato,basta vedere come si comporta la funzione sulla retta $y=x$ per dimostrare che nell'origine c'è un punto di minimo ?
non sono d'accordo
un modo più attendibile è quello di usare le coordinate polari
$z=rho^2(rho^2cos^4theta+rhocos^2theta sentheta+sen^2theta)$
in "prossimità" dell'origine comanda $sen^2theta$
non sono d'accordo
un modo più attendibile è quello di usare le coordinate polari
$z=rho^2(rho^2cos^4theta+rhocos^2theta sentheta+sen^2theta)$
in "prossimità" dell'origine comanda $sen^2theta$
è un'esempio svolto "scovato" in rete.... quindi non conviene studiare le derivate per affermare la presenza di un punto di minimo, massimo o di sella.... buona a sapersi !! MEtodo da scartare allora....
!! MEtodo da scartare allora....
"Frasandro":
[quote="gio73"]metti l'intero esercizio, magari si tratta solo di un errore di battitura...
$ f(x,y)= x^4+x^2y+y^2 $ ;
$ f(x,x)= x^4+x^3+x^2 $ e $ f(-x,-x)= x^4-x^3+x^2 $
Poi c'era lo studio delle due derivate e in entrambi i casi si otteneva un punto di minimo....quindi l'origine era un punto di minimo relativo
[/quote]Se, anziché restringere, studi la disequazione
$x^4+x^2y+y^2\geq f(0,0)=0$
trovi che $f(x,y)>0$ per ogni $(x,y)\ne (0,0)$, e quindi $(0,0)$ è minimo assoluto (stretto) per la funzione.
Se avessi trovato che, invece, $f$ cambia segno in ogni intorno di $(0,0)$ allora avresti trovato un punto di colle (=sella).
Passare a restrizioni rende, a volte, più facile capire che c'è il cambiamento di segno in ogni intorno (e quindi né max né min ma punto di colle), ma è solo un escamotage per evitare di capire come è fatto l'insieme delle soluzioni di
$f(x,y)>f(x_0,y_0)$
quando questa disequazione è difficile.
Nell'esempio che citi, basta interpretare $x^4+x^2y+y^2>0$ come disequazione di secondo grado in $y$ parametrica in $x$, o equivalentemente disequazione biqudratica in $x$ parametrica in $y$....calcola il delta...
Ciao
PS non si può concludere l'essere max o min dall'analisi di (quante vuoi) restrizioni...
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