Hessiano nullo
Ho la seguente funzione $f(x,y)=x^2-xy^2+x^2y$
Nel punto critico $(0,0)$ l'hessiano è nullo. Sulle rette $y=mx$ viene che è un punto di minimo. Come posso studiare il punto?
Nel punto critico $(0,0)$ l'hessiano è nullo. Sulle rette $y=mx$ viene che è un punto di minimo. Come posso studiare il punto?
Risposte
la funzione può essere scritta nella forma
$f(x,y)=x[x(1+y)-y^2]$
a questo punto mi sembra di poter dire che per ogni intorno dell'origine $I$,ci sono punti della curva $x=y^2/(1+y)$, con $x>0$,che appartengono ad $I$
da ciò deriva che per ogni $I$ ci sono punti di $I$ in cui la funzione assume valori di segno contrario
$f(x,y)=x[x(1+y)-y^2]$
a questo punto mi sembra di poter dire che per ogni intorno dell'origine $I$,ci sono punti della curva $x=y^2/(1+y)$, con $x>0$,che appartengono ad $I$
da ciò deriva che per ogni $I$ ci sono punti di $I$ in cui la funzione assume valori di segno contrario
Grazie per la risposta. Mi trovo con tutto quello che dici. Ho studiato anche la curva. Non ho capito però come fai a dire che:
"da ciò deriva che per ogni I ci sono punti di I in cui la funzione assume valori di segno contrario"
"da ciò deriva che per ogni I ci sono punti di I in cui la funzione assume valori di segno contrario"
Se fisso $y=a$ con $a>0$, il punto della curva è $P=(a^2/(1+a),a)$ su cui la funzione si annulla. Restringendo la funzione su $y=a$, in un intorno di P la funzione è decrescente e quindi (annullandosi in P) assume segni opposti. Siccome $a$ lo posso prendere piccolo a piacere, in ogni intorno di $(0,0)$ la funzione assume valori di segno opposto.
Va be questo ragionamento? Il fatto che $(0,0)$ non sia né massimo, né minimo relativo comporta automaticamente che è di sella?
Va be questo ragionamento? Il fatto che $(0,0)$ non sia né massimo, né minimo relativo comporta automaticamente che è di sella?
a dire il vero io non ho fatto il tuo ragionamento(che ,perdonami,non ho verificato)
quello che mi sembra di poter dire è che la funzione assume nei punti al di sopra della curva valori di segno opposto a quelli che assume al di sotto
sì
quello che mi sembra di poter dire è che la funzione assume nei punti al di sopra della curva valori di segno opposto a quelli che assume al di sotto
"lupomatematico":
Il fatto che (0,0) non sia né massimo, né minimo relativo comporta automaticamente che è di sella?
sì
Penso che in questo caso bisognerebbe comunque giustificare il tuo ragionamento.
Come fai a dire che la funzione assume nei punti al di sopra della curva valori di segno opposto a quelli che assume al di sotto? Il tuo ragionamento vale in generale per ogni curva? Cioè se f(x,y)=0 è l'equazione di una curva allora, punti "vicini" alla curva ma situati da parti opposte rispetto ad essa determinano sempre segni diversi per f(x,y)?
Come fai a dire che la funzione assume nei punti al di sopra della curva valori di segno opposto a quelli che assume al di sotto? Il tuo ragionamento vale in generale per ogni curva? Cioè se f(x,y)=0 è l'equazione di una curva allora, punti "vicini" alla curva ma situati da parti opposte rispetto ad essa determinano sempre segni diversi per f(x,y)?
diciamo meglio : se $f(x,y)=0$ sulla curva
prendiamo un punto $ P(x,y)$ della curva,appartenente ad $I$
essendo $I$ un aperto,esiste $h>0$ tale che $(x+h,y),(x-h,y)$ appartengano ad $I$
si ha
$x=y^2/(1+y)$
$x+h>y^2/(1+y)$
$x-h
$f(x,y)=0$
$f(x+h,y)>0$
$f(x-h,y)<0$
prendiamo un punto $ P(x,y)$ della curva,appartenente ad $I$
essendo $I$ un aperto,esiste $h>0$ tale che $(x+h,y),(x-h,y)$ appartengano ad $I$
si ha
$x=y^2/(1+y)$
$x+h>y^2/(1+y)$
$x-h
$f(x,y)=0$
$f(x+h,y)>0$
$f(x-h,y)<0$
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