Hessiano con parametro
Volevo postare direttamente la foto ma dice che "L’immagine deve essere larga almeno 0 pixel, alta almeno 0 pixel, al massimo larga 800 pixel e alta 800 pixel. L’immagine proposta è larga 1365 pixel ed alta 768 pixel" e non so come fare a modificarla. In ogni caso...
Data la funzione $f(x,y)=x^2+y^2+alphaln(x+y)$ determina al variare del parametro reale $alpha$ max/min/sella.
Se imponiamo $alpha<0$ in modo tale da avere soluzioni reali, si ottengono due punti stazionari $(root()(alpha)/2,root()(alpha)/2)$ e $(-root()(alpha)/2,-root()(alpha)/2)$. Costruendo l'hessiano ottengo $ Hf(x,y)=[ ( 2-alpha/(x+y)^2 , -alpha/(x+y)^2 ),( -alpha/(x+y)^2 , 2-alpha/(x+y)^2 ) ] $ . Ora mi chiedo: calcolato nel primo punto non dovrebbe essere $ Hf(x,y)=[ ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ] $ da cui un sella?
Data la funzione $f(x,y)=x^2+y^2+alphaln(x+y)$ determina al variare del parametro reale $alpha$ max/min/sella.
Se imponiamo $alpha<0$ in modo tale da avere soluzioni reali, si ottengono due punti stazionari $(root()(alpha)/2,root()(alpha)/2)$ e $(-root()(alpha)/2,-root()(alpha)/2)$. Costruendo l'hessiano ottengo $ Hf(x,y)=[ ( 2-alpha/(x+y)^2 , -alpha/(x+y)^2 ),( -alpha/(x+y)^2 , 2-alpha/(x+y)^2 ) ] $ . Ora mi chiedo: calcolato nel primo punto non dovrebbe essere $ Hf(x,y)=[ ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ] $ da cui un sella?
Risposte
Avendo individuato i punti stazionari (da quel che hai scritto tu sono questi due) ti sei costruito l'hessiana e fin qui tutto corretto. Non ho controllato i calcoli comunque(sto in fede). I casi in cui $\alpha$ sia minore o maggiore o uguale a zero li devi porre solamente dopo al calcolo della matrice hessiana calcolata nei due punti che hai individuato. Dall'hessiana che hai calcolato il deteminante è nullo, essendo nullo innanzitutto puoi subito affermare che il parametro alpha non incide in nessun modo nell'individuare i punti di max/min/sella, essendo che la matrice in quei punti non dipenda da $\alpha$. Essendo il determinante nullo non puoi dire nulla a priori, o passi al metodo grafico per verificare se è sella o massimo o minimo oppure passi al metodo analitico(ma non ti so aiutare qui perchè io ho sempre utilizzato un approccio grafico)
Ciao! Potrei sbagliarmi ma forse nel tuo dubbio c'è un errore di calcolo, infatti a me risulta che il gradiente si annulli in
$(+-sqrt(-\alpha)/2,+-sqrt(-\alpha)/2)$ anche perché il tuo discorso non quadrerebbe dato che hai trovato la condizione
$\alpha<0$ perciò $sqrt(\alpha) notin RR$
Provo a scriverti il calcolo che ho fatto:
$\gradf(x,y)=(2x+(alpha)/(x+y), 2y+(alpha)/(x+y)) = 0 hArr {(2x+(alpha)/(x+y)=0),(2y+(alpha)/(x+y)=0):}$ sottraendo la seconda equazione alla prima
otteniamo che $x=y$ e quindi risolviamo $2x+(alpha)/(2x)=0 hArr 4x^2+\alpha=0$ ovvero $4x^2=-\alpha$
da cui deduciamo $x=+-sqrt(-alpha)/2$. Impongo quindi quello che avevi trovato tu ovvero $\alpha<0$ affinché ci siano soluzioni reali.
Escludiamo il punto $(-sqrt(-\alpha)/2,-sqrt(-\alpha)/2)$ poiché le condizioni di esistenza sul logaritmo ti impongono $x+y>0$.
A questo punto procedendo al calcolo dell'Hessiana e sostituendo il punto restante trovi che essa è definita positiva e quindi esso è punto di minimo.
Osserva che manca da studiare il caso $\alpha=0$ che però dovrebbe essere semplice da fare!
Spero di non aver fatto errori
$(+-sqrt(-\alpha)/2,+-sqrt(-\alpha)/2)$ anche perché il tuo discorso non quadrerebbe dato che hai trovato la condizione
$\alpha<0$ perciò $sqrt(\alpha) notin RR$
Provo a scriverti il calcolo che ho fatto:
$\gradf(x,y)=(2x+(alpha)/(x+y), 2y+(alpha)/(x+y)) = 0 hArr {(2x+(alpha)/(x+y)=0),(2y+(alpha)/(x+y)=0):}$ sottraendo la seconda equazione alla prima
otteniamo che $x=y$ e quindi risolviamo $2x+(alpha)/(2x)=0 hArr 4x^2+\alpha=0$ ovvero $4x^2=-\alpha$
da cui deduciamo $x=+-sqrt(-alpha)/2$. Impongo quindi quello che avevi trovato tu ovvero $\alpha<0$ affinché ci siano soluzioni reali.
Escludiamo il punto $(-sqrt(-\alpha)/2,-sqrt(-\alpha)/2)$ poiché le condizioni di esistenza sul logaritmo ti impongono $x+y>0$.
A questo punto procedendo al calcolo dell'Hessiana e sostituendo il punto restante trovi che essa è definita positiva e quindi esso è punto di minimo.
Osserva che manca da studiare il caso $\alpha=0$ che però dovrebbe essere semplice da fare!
Spero di non aver fatto errori
Anzitutto grazie ad entrambi delle risposte.
@Alino: anzitutto non ho capito perché escludi il punto $(-root()(-alpha)/2,-root()(-alpha)/2)$: ok che l'argomento del logaritmo deve essere necessariamente $>0$ affinché il logaritmo possa esistere ma il parametro non fa parte dell'argomento, è solamente una costante moltiplicativa. Perché non può essere negativo? Anzi, noi supponiamo proprio che lo sia altrimenti non avremo soluzioni reali...
Inoltre, come ho scritto nel post, se dal calcolo delle derivate seconde troviamo l'hessiano $ [ ( 2-(alpha)/(x+y)^2 , -(alpha)/(x+y)^2 ),( -(alpha)/(x+y)^2 , 2-(alpha)/(x+y)^2 ) ] $, quando vado a sostituire $(root()(alpha)/2,root()(alpha)/2)$ (essendo $ (x+y)^2=(root()(alpha)/2+root()(alpha)/2)^2=((2root()(alpha))/2)^2=alpha $ ) dovrei trovare la matrice $ [ ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ]$. Quello che non capisco è perché invece la soluzione dell'esercizio riporti la matrice $ [ ( 2 , -4 ),( -4 , 2 ) ]$...
@Alino: anzitutto non ho capito perché escludi il punto $(-root()(-alpha)/2,-root()(-alpha)/2)$: ok che l'argomento del logaritmo deve essere necessariamente $>0$ affinché il logaritmo possa esistere ma il parametro non fa parte dell'argomento, è solamente una costante moltiplicativa. Perché non può essere negativo? Anzi, noi supponiamo proprio che lo sia altrimenti non avremo soluzioni reali...
Inoltre, come ho scritto nel post, se dal calcolo delle derivate seconde troviamo l'hessiano $ [ ( 2-(alpha)/(x+y)^2 , -(alpha)/(x+y)^2 ),( -(alpha)/(x+y)^2 , 2-(alpha)/(x+y)^2 ) ] $, quando vado a sostituire $(root()(alpha)/2,root()(alpha)/2)$ (essendo $ (x+y)^2=(root()(alpha)/2+root()(alpha)/2)^2=((2root()(alpha))/2)^2=alpha $ ) dovrei trovare la matrice $ [ ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ]$. Quello che non capisco è perché invece la soluzione dell'esercizio riporti la matrice $ [ ( 2 , -4 ),( -4 , 2 ) ]$...
Escludo il punto perché $f(x,y)$ è definita appunto solo quando $x+y>0$.
Se tu consideri il punto $(-sqrt(-\alpha)/2,-sqrt(-\alpha)/2)$ che ha le due componenti negative poiché $sqrt(-\alpha)>0$ con $\alpha<0$, se provi a calcolare il valore della funzione in esso a un certo punto avrai
$f(-sqrt(-\alpha)/2,-sqrt(-\alpha)/2)=...+\alphalog(-sqrt(-\alpha))$ e hai un problema, o sbaglio?
Per il calcolo dell'Hessiana secondo me continui a sbagliare punto perché devi considerare $(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)$.
Hai che:
$Hf(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)=((2-(\alpha)/(-alpha),-(\alpha)/(-alpha)),(-(\alpha)/(-alpha),2-(\alpha)/(-alpha)))=((3,1),(1,3))$ che puoi controllare essere definita positiva. Ora, quello
che non capisco è perché la soluzione riporti quella matrice che risulta indefinita quando in effetti facendo qualche esempio con un valore di $\alpha$ a caso risulta che il punto è di minimo!
Se tu consideri il punto $(-sqrt(-\alpha)/2,-sqrt(-\alpha)/2)$ che ha le due componenti negative poiché $sqrt(-\alpha)>0$ con $\alpha<0$, se provi a calcolare il valore della funzione in esso a un certo punto avrai
$f(-sqrt(-\alpha)/2,-sqrt(-\alpha)/2)=...+\alphalog(-sqrt(-\alpha))$ e hai un problema, o sbaglio?
Per il calcolo dell'Hessiana secondo me continui a sbagliare punto perché devi considerare $(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)$.
Hai che:
$Hf(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)=((2-(\alpha)/(-alpha),-(\alpha)/(-alpha)),(-(\alpha)/(-alpha),2-(\alpha)/(-alpha)))=((3,1),(1,3))$ che puoi controllare essere definita positiva. Ora, quello
che non capisco è perché la soluzione riporti quella matrice che risulta indefinita quando in effetti facendo qualche esempio con un valore di $\alpha$ a caso risulta che il punto è di minimo!
Ho capito cosa volevi dire... in effetti la funzione in quel punto la funzione non è definita.
E (stupido che sono) hai ragione anche sul punto: io suppongo $alpha<0$ ma le soluzioni sono $ (+-root()(-alpha)/2,+-root()(-alpha)/2) $ per cui eliminando $ (-root()(-alpha)/2,-root()(-alpha)/2) $ rimane solo $ (root()(-alpha)/2,root()(-alpha)/2)$, da cui l'hessiano che hai calcolato. Il dubbio però rimane: non capisco come sia possibile quella soluzione, e considera che è un esercizio di un vecchio appello d'esame di cui ho fatto le fotocopie da due colleghi e ad entrambi viene la stessa matrice
E (stupido che sono) hai ragione anche sul punto: io suppongo $alpha<0$ ma le soluzioni sono $ (+-root()(-alpha)/2,+-root()(-alpha)/2) $ per cui eliminando $ (-root()(-alpha)/2,-root()(-alpha)/2) $ rimane solo $ (root()(-alpha)/2,root()(-alpha)/2)$, da cui l'hessiano che hai calcolato. Il dubbio però rimane: non capisco come sia possibile quella soluzione, e considera che è un esercizio di un vecchio appello d'esame di cui ho fatto le fotocopie da due colleghi e ad entrambi viene la stessa matrice
Ok forse non mi ero spiegato bene! La cosa che però ho notato è questa (ma non so se sia un ragionamento sensato quindi
non prenderlo troppo sul serio):
$detHf(x,y)=4-(4\alpha)/(x+y)^2$ e se lo calcoli nel punto $(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)$ hai che
$detHf(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)=8$ e $det((3,1),(1,3))=8$. Potrebbe voler dir qualcosa?
Inoltre, se consideriamo la soluzione che hai trovato, $det((2,-4),(-4,2))=-12$ e cercando in rete, visto che non ero
troppo afferrato sulla questione, ho trovato una proposizione che affermava che per funzioni di due variabili vale che: in opportune ipotesi, se $detHf(x_0,y_0)<0$ dove il punto $(x_0,y_0)$ è stazionario per la funzione, allora esso è un punto di sella e va in contraddizione col fatto che sia di minimo! Questo ovviamente non risolve nulla perché è proprio la domanda a cui stiamo cercando di rispondere ma, come ho detto prima, facendo qualche esempio emerge che in effetti il punto che stai studiando è di minimo
Ti lascio il link così magari puoi trovare qualcosa di utile: http://calvino.polito.it/~taise/Eserciz ... ssiana.pdf
PS in effetti grazie alle proposizioni che ho trovato (e che non conoscevo) credo che si possa concludere che il punto è di minimo. Dimmi se sei d'accordo
non prenderlo troppo sul serio):
$detHf(x,y)=4-(4\alpha)/(x+y)^2$ e se lo calcoli nel punto $(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)$ hai che
$detHf(sqrt(-\alpha)/2,sqrt(-\alpha)/2)=8$ e $det((3,1),(1,3))=8$. Potrebbe voler dir qualcosa?
Inoltre, se consideriamo la soluzione che hai trovato, $det((2,-4),(-4,2))=-12$ e cercando in rete, visto che non ero
troppo afferrato sulla questione, ho trovato una proposizione che affermava che per funzioni di due variabili vale che: in opportune ipotesi, se $detHf(x_0,y_0)<0$ dove il punto $(x_0,y_0)$ è stazionario per la funzione, allora esso è un punto di sella e va in contraddizione col fatto che sia di minimo! Questo ovviamente non risolve nulla perché è proprio la domanda a cui stiamo cercando di rispondere ma, come ho detto prima, facendo qualche esempio emerge che in effetti il punto che stai studiando è di minimo
Ti lascio il link così magari puoi trovare qualcosa di utile: http://calvino.polito.it/~taise/Eserciz ... ssiana.pdf
PS in effetti grazie alle proposizioni che ho trovato (e che non conoscevo) credo che si possa concludere che il punto è di minimo. Dimmi se sei d'accordo
Non so che dirti onestamente: io so che ad un punto di minimo locale corrispondono autovalori dell'hessiano entrambi maggiori di zero, cosa che effettivamente seguendo il tuo ragionamento (che ad essere sincero mi sembra corretto) succede: $lambda_1=4$ e $lambda_2=2$. D'altro canto per avere un $det$ come quello che hai indicato la funzione dovrebbe essere $2x^2+2y^2+alphaln(x+y)$, cosa che non è. Quindi credo che per il momento si possa concludere che si tratti di un punto di minimo, comunque proverò a contattarli nella speranza che mi sappiano dire. Grazie ancora!
A me risulta:
$det((2-\alpha/(x+y)^2,-\alpha/(x+y)^2),(-\alpha/(x+y)^2,2-\alpha/(x+y)^2))=(2-\alpha/(x+y)^2)^2-(-\alpha/(x+y)^2)^2=4+\alpha^2/(x+y)^4-(4\alpha)/(x+y)^2-\alpha^2/(x+y)^4=4-(4\alpha)/(x+y)^2$
Dovrebbe essere corretto, no? Comunque fammi sapere se scopri qualcosa
$det((2-\alpha/(x+y)^2,-\alpha/(x+y)^2),(-\alpha/(x+y)^2,2-\alpha/(x+y)^2))=(2-\alpha/(x+y)^2)^2-(-\alpha/(x+y)^2)^2=4+\alpha^2/(x+y)^4-(4\alpha)/(x+y)^2-\alpha^2/(x+y)^4=4-(4\alpha)/(x+y)^2$
Dovrebbe essere corretto, no? Comunque fammi sapere se scopri qualcosa
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