Hessiano
Se il determinante della matrice hessiana in un punto è uguale a zero, analizzando la funzione a tre variabili, come faccio a determinare la natura dei punti critici?
Risposte
Dipende da situazione a situazione. Qual è la funzione che stavi studiando?
Per esempio $f = 4x^3 + 3x^2 + y^2 + z^2$ ho capito che dipende da ogni singolo caso, ma come di norma si procede, cosa si vede e come? grazie mille 
Concordo con TeM: in questo esempio le cose procedono lisce. I punti stazionari sono $(0,0,0)$ e $(-1/2,0,0)$ e l'Hessiana vale, rispettivamente, $24$ e $-24$.
io ho provato a ragionare così...se l'Hessiano è nullo vuol dire che il prodotto tra le derivate parziali seconde pure è uguale al prodotto delle derivate parziali seconde miste, cioè questo vuol dire che la derivata seconda pure rispetto a xx è uguale alla derivata parziale seconda mista rispetto xy, ma se le derivate seconde pure e miste sono uguali allora vuol dire che la derivata parziale prima non dipende da (x,y) quindi è una costante, cioè il gradiente di f è del tipo ( k,h) con k h numeri reali...ma se così allora preso un punto qualsiasi il gradiente non è nullo mai...allora viene meno la condizione necessaria, quindi quello non puo mai essere un punto stazionario ne di sella...se c'è qualcosa che sbaglio ditemelo 
Caso di funzione \(f\) di due variabili. Hessiano nullo significa che \(f_{x y}^2=f_{x x}f_{y y}\). Non mi pare sia difficile capire che tale relazione è verificata anche per \(f_{x x}\ne f_{x y}\)!! [/quote]
non sono d'accordo su questo fatto, scusami un attimo considera il sistema composto da questa \( f_{x y}^2=f_{x x}f_{y y} \) ed anche \(f_{x x}\ne f_{x y} \) dalla prima ricavi che \( (f_{x y}^2)/f_{y y}=f_{x x} \) quindi si ottiene
\( (f_{x y}^2)/f_{y y}\ne f_{x y} \) questo per accadere deve essere necessariamente che \( f_{x y} / f_{y y} \ne 1 \) ovvero che \( f_{x y} \ne f_{y y } \) ma allora se \( f_{x y } = f_{y x} \) e sono diversi da \( f_{x x} e f_{y y} \) necessariamente l'uguaglianza nn vale più, ma l'hessiano dice che devono essere uguali...
non sono d'accordo su questo fatto, scusami un attimo considera il sistema composto da questa \( f_{x y}^2=f_{x x}f_{y y} \) ed anche \(f_{x x}\ne f_{x y} \) dalla prima ricavi che \( (f_{x y}^2)/f_{y y}=f_{x x} \) quindi si ottiene
\( (f_{x y}^2)/f_{y y}\ne f_{x y} \) questo per accadere deve essere necessariamente che \( f_{x y} / f_{y y} \ne 1 \) ovvero che \( f_{x y} \ne f_{y y } \) ma allora se \( f_{x y } = f_{y x} \) e sono diversi da \( f_{x x} e f_{y y} \) necessariamente l'uguaglianza nn vale più, ma l'hessiano dice che devono essere uguali...
scusate infatti la funzione era questa:
$x^4 + x^3 + y^2 + z^2$
$x^4 + x^3 + y^2 + z^2$
significa che la derivata parziale rispetto a y era costante \( f_{y} = k \) con k reale, quindi gradiente di f non nullo quindi quel punto non è ne stazionario ne di sella, xkè la funziona nn ne ha...se invece nn è costante ma vale per esempio \( f_{y} = x \) allora vuol dire che \( f= xy \) eppure accade che \( f_{x} = y ; f_{x x} = 0 ; f_{y y } = 0 ; f_{ x y }= 1 ; f_{y x} = 1 \) ah bhè allora \( H_{a} \ne 0 \) quindi viola l'ipotesi iniziale e comunque non ti trovi
assolutamente sono d'accordissimo con te, ma le ipotesi del teorema dice f di classe C^2(X), e poi nn è l'origine il punto critico perche \( f_{x} = 0 , f_{y}=2y^2+1 \) che ha punto critico in \( (0, 2y^2+1 = 0 ) \)
grazie mille
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