Hessiana covariante

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Salve dovrei dimostrare quanto segue
Sia \(F(x,y) \) un polinomio omogeneo nelle indeterminate \(x,y\) di grado 3 e definiamo l'Hessiana come il determinante della matrice Hessiana per un fattore costante.
\[ H(x,y) = -\frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial^2x} \cdot \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial^2y} - \left( \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} \right)^2 \right) \]
Allora abbiamo che
\[ -\frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2 F(ax+by,cx+dy)}{\partial^2x} \cdot \frac{\partial^2 F(ax+by,cx+dy)}{\partial^2y} - \left( \frac{\partial^2 F(ax+by,cx+dy)}{\partial x \partial y} \right)^2 \right) = H(ax+by,cx+dy) \]
dove \( ad-cb= \pm 1 \).

Ho pensato di usare la formula di Faà di Bruno, ma non riesco a venirne fuori...

[megas_archon]

Non capisco la domanda. Forse quello che intendi è che cambiando coordinate \((u,v)=(ax+by, cx+dy)\), uno può esprimere \(H(u,v)\) come...?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ho risolto grazie! Mi perdevo via con i cambi di variabile.
Comunque sì, avendo \( (u,v) = (ax+by,cx+dy) \) volevo dimostrare che


\[ -\frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2 F(u,v)}{\partial^2x} \cdot \frac{\partial^2 F(u,v)}{\partial^2y} - \left( \frac{\partial^2 F(u,v)}{\partial x \partial y} \right)^2 \right) = H(u,v) \]
dove \( ad-cb= \pm 1 \).

Nota che a priori
\[ H(u,v) = -\frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2 F(u,v)}{\partial^2u} \cdot \frac{\partial^2 F(u,v)}{\partial^2v} - \left( \frac{\partial^2 F(u,v)}{\partial u \partial v} \right)^2 \right) \]
e quindi potrebbero essere differenti. In effetti sono differenti se \( (ad-bc)^2 \neq \pm 1 \).

[megas_archon]

Eh, differiranno per i(l segno de)l determinante della matrice di cambio di coordinate, appunto.