[HELP]Sistema di eq. differenziali
Raga qualcuno mi aiuta a capire come si risolve questo esercizio?
Ho il seguente sistema di equazioni differenziali e mi chiede di ricavarne l'integrale generale:
$ x' = x -4y $
$ y' = x +y $
Sono in totale confusione pensavo si risolvesse tramite gli autovalori e gli autovettori ma in diversi esercizi non riesco a risolvere l'equazione di secondo grado che risulta come soluzione della matrice associata al sistema!
Ho il seguente sistema di equazioni differenziali e mi chiede di ricavarne l'integrale generale:
$ x' = x -4y $
$ y' = x +y $
Sono in totale confusione pensavo si risolvesse tramite gli autovalori e gli autovettori ma in diversi esercizi non riesco a risolvere l'equazione di secondo grado che risulta come soluzione della matrice associata al sistema!
Risposte
Prova a postare i passaggi... Non mi pare un esercizio tanto traumatico.
Allora da quello che so io si devono calcolare gli autovalori dalla matrice associata al sistema giusto?
quindi la matrice è:
| 1 -4|
| 1 1|
Sottraggo alla diagonale principale $ \alpha $ e calcolo il determinante ottenendo: $ \alpha^2 -2\alpha +5 $ devo risolvere quest'equazione per avere i due autovalori ma ha delta negativo quindi come faccio?
quindi la matrice è:
| 1 -4|
| 1 1|
Sottraggo alla diagonale principale $ \alpha $ e calcolo il determinante ottenendo: $ \alpha^2 -2\alpha +5 $ devo risolvere quest'equazione per avere i due autovalori ma ha delta negativo quindi come faccio?
è anche probabile che seguo un procedimento sbagliato: mi farebbe piacere se mi potessi spiegare come lo svolgeresti tu perché è un esercizio che esce spesso all'esame!
Beh, hai due autovalori complessi... Qual è il problema?
e va bene lo stesso?Quali sarebbero questi due autovalori?
Il mio dubbio principale è che non so se il procedimento che uso è giusto, ora provo a spiegarlo tutto in modo che se è corretto poi affrontiamo l'esercizio insieme, allora dato un sistema di euqazioni differenziali:
$ x' = ax+by $
$ y' = cx+dy $
Imposto la matrice dei coefficenti associata al sistema e sottraggo $ \alpha $ alla diagonale principale per cui ho:
$ | a-\alpha b| $
$ | c d-\alpha| $
La cui soluzione è: $ (a-\alpha)(d-\alpha)-(c*d)= \alpha^2 +2\alpha+ (a*d-c*d)=0 $ da cui ricaviamo due soluzioni $\alpha1 $ e $ \alpha2 $
A questo punto per $ \alpha1 $ abbiamo il seguente sistema:
$ (a-\alpha1)\lambda1 +b\lambda2 = 0 $
$ c\lambda1 +(d-\alpha1)\lambda2 = 0 $
Da cui ricaveremo la prima coppia $ (\lambda1,\lambda2) $ che sarà il primo autovettore.
Stessa cosa per $\alpha2$ da cui ricaveremo $ (\lambda3,\lambda4) $ che sarà il secondo autovettore.
L'integrale generale del sistema allora sarà:
$ x(t) = \lambda1C1e^(\alpha1 t) + \lambda2C2e^(\alpha2 t) $
$ y(t) = \lambda3C1e^(\alpha1 t) + \lambda4C2e^(\alpha2 t) $
E' la procedura corretta?
Il mio dubbio principale è che non so se il procedimento che uso è giusto, ora provo a spiegarlo tutto in modo che se è corretto poi affrontiamo l'esercizio insieme, allora dato un sistema di euqazioni differenziali:
$ x' = ax+by $
$ y' = cx+dy $
Imposto la matrice dei coefficenti associata al sistema e sottraggo $ \alpha $ alla diagonale principale per cui ho:
$ | a-\alpha b| $
$ | c d-\alpha| $
La cui soluzione è: $ (a-\alpha)(d-\alpha)-(c*d)= \alpha^2 +2\alpha+ (a*d-c*d)=0 $ da cui ricaviamo due soluzioni $\alpha1 $ e $ \alpha2 $
A questo punto per $ \alpha1 $ abbiamo il seguente sistema:
$ (a-\alpha1)\lambda1 +b\lambda2 = 0 $
$ c\lambda1 +(d-\alpha1)\lambda2 = 0 $
Da cui ricaveremo la prima coppia $ (\lambda1,\lambda2) $ che sarà il primo autovettore.
Stessa cosa per $\alpha2$ da cui ricaveremo $ (\lambda3,\lambda4) $ che sarà il secondo autovettore.
L'integrale generale del sistema allora sarà:
$ x(t) = \lambda1C1e^(\alpha1 t) + \lambda2C2e^(\alpha2 t) $
$ y(t) = \lambda3C1e^(\alpha1 t) + \lambda4C2e^(\alpha2 t) $
E' la procedura corretta?
"Seven90":
e va bene lo stesso?
E perché no?
"Seven90":
Quali sarebbero questi due autovalori?
Le due soluzioni complesse della tua equazione caratteristica.
"Seven90":
Il mio dubbio principale è che non so se il procedimento che uso è giusto, ora provo a spiegarlo tutto in modo che se è corretto poi affrontiamo l'esercizio insieme, allora dato un sistema di euqazioni differenziali:
$ x' = ax+by $
$ y' = cx+dy $
Imposto la matrice dei coefficenti associata al sistema e sottraggo $ \alpha $ alla diagonale principale per cui ho:
$ | a-\alpha b| $
$ | c d-\alpha| $
La cui soluzione è: $ (a-\alpha)(d-\alpha)-(c*d)= \alpha^2 +2\alpha+ (a*d-c*d)=0 $ da cui ricaviamo due soluzioni $\alpha1 $ e $ \alpha2 $
A questo punto per $ \alpha1 $ abbiamo il seguente sistema:
$ (a-\alpha1)\lambda1 +b\lambda2 = 0 $
$ c\lambda1 +(d-\alpha1)\lambda2 = 0 $
Da cui ricaveremo la prima coppia $ (\lambda1,\lambda2) $ che sarà il primo autovettore.
Stessa cosa per $\alpha2$ da cui ricaveremo $ (\lambda3,\lambda4) $ che sarà il secondo autovettore.
L'integrale generale del sistema allora sarà:
$ x(t) = \lambda1C1e^(\alpha1 t) + \lambda2C2e^(\alpha2 t) $
$ y(t) = \lambda3C1e^(\alpha1 t) + \lambda4C2e^(\alpha2 t) $
E' la procedura corretta?
Il procedimento è giusto fintantoché gli autovalori sono reali.
Quando sono complessi hai da fare un po' di giochini per introdurre le autofunzioni reali, le quali, come nel caso delle singole EDO, si scrivono in termini di esponenziali moltiplicati per seni e coseni.
Possibile che sul tuo testo di riferimento non ci sia nulla in proposito?
Adesso do un occhiata ma non mi sembra di aver visto casi in cui gli autovalori sono complessi. Grazie comunque dell'aiuto.
Nel caso non ci sia nulla (cosa di cui dubito, perché di solito questo è il caso di maggior interesse per ingegneri e fisici) cercherò di scriverti una soluzione.
Niente sto guardando dal libro di esercitazioni del marcellini sbordone è l'unico esercizio che riporta la soluzione in seno e coseno non è spiegato. Se riuscissi a spiegarmelo tu te ne sarei grato, magari risolvendo direttamente l'esercizio che ho proposto in modo da avere un riscontro diretto.
Nel caso di autovalori complessi le formule sono le seguenti.
Siano : $lambda_{1,2}=alpha+- beta i$ gli autovalori e $w_{1,2}=u+- iv $ gli autovettori corrispondenti.
La soluzione del sistema è data da :
(A) $((x(t)),(y(t)))= C_1e^{alpha t}[cos (beta t) cdot u -sin(beta t) cdot v]+ C_2e^{alpha t}[sin (beta t) cdot u +cos(beta t) cdot v] $
Nel caso del sistema che hai proposto
\(\displaystyle \begin{cases}\dot {x}=x-4y\\ \dot {y}=x+y\end{cases} \)
con facili calcoli si trova che gli autovalori sono :
$lambda_{1,2}=alpha+-i beta=1+-2i$
e gli autovettori corrispondenti:
$w_{1,2}=u+-iv=((+- 2i),(1))=((0),(1))+-i((2),(0))$
Di conseguenza si ha:
$alpha=1,beta=2,u=((0),(1)), v=((2),(0))$
Sostituendo nelle (A) abbiamo la soluzione :
(B) $((x(t)),(y(t)))= C_1e^{t}[cos (2 t) cdot ((0),(1)) -sin(2 t) cdot ((2),(0))]+ C_2e^{ t}[sin (2 t) cdot ((0),(1)) +cos(2 t) cdot ((2),(0))] $
Leggendo " per righe":
(C) \(\displaystyle \begin{cases}x(t)=e^t[-2C_1sin 2t+2C_2cos 2t]\\y(t)=e^t[C_1cos 2t+C_2sin 2t]\end{cases} \)
Siano : $lambda_{1,2}=alpha+- beta i$ gli autovalori e $w_{1,2}=u+- iv $ gli autovettori corrispondenti.
La soluzione del sistema è data da :
(A) $((x(t)),(y(t)))= C_1e^{alpha t}[cos (beta t) cdot u -sin(beta t) cdot v]+ C_2e^{alpha t}[sin (beta t) cdot u +cos(beta t) cdot v] $
Nel caso del sistema che hai proposto
\(\displaystyle \begin{cases}\dot {x}=x-4y\\ \dot {y}=x+y\end{cases} \)
con facili calcoli si trova che gli autovalori sono :
$lambda_{1,2}=alpha+-i beta=1+-2i$
e gli autovettori corrispondenti:
$w_{1,2}=u+-iv=((+- 2i),(1))=((0),(1))+-i((2),(0))$
Di conseguenza si ha:
$alpha=1,beta=2,u=((0),(1)), v=((2),(0))$
Sostituendo nelle (A) abbiamo la soluzione :
(B) $((x(t)),(y(t)))= C_1e^{t}[cos (2 t) cdot ((0),(1)) -sin(2 t) cdot ((2),(0))]+ C_2e^{ t}[sin (2 t) cdot ((0),(1)) +cos(2 t) cdot ((2),(0))] $
Leggendo " per righe":
(C) \(\displaystyle \begin{cases}x(t)=e^t[-2C_1sin 2t+2C_2cos 2t]\\y(t)=e^t[C_1cos 2t+C_2sin 2t]\end{cases} \)
"ciromario":
Con facili calcoli si trova che gli autovalori sono :
$lambda_{1,2}=1+-2i$
e gli autovettori corrispondenti:
$w_{1,2}=u+-iv=((+- 2i),(1))=((0),(1))+-i((2),(0))$
Di conseguenza si ha:
$alpha=1,beta=2,u=((0),(1)), v=((2),(0))$
Inizio col ringraziandoti per avermi fornito lo svolgimento completo vorrei chiederti qualche delucidazione perché non mi sono mai trovato a dover operare con numeri complessi. Partendo dal determinante della matrice:
$ \alpha^2 -2\alpha +5=0 $ calcolo il delta e mi accorgo che è negativo. Quindi come faccio da qui a calcolare: $lambda_{1,2}=1+-2i$ e di conseguenza gli autovettori corrispondenti?
Ho indicato gli autovalori con $lambda$ mentre tu li indichi con $alpha$. A parte questa irrilevante differenza, è proprio perché il delta è negativo che gli autovalori sono immaginari complessi. Se risolvi l'equazione $lambda^2-2 lambda+5=0$
trovi $lambda=1\pm sqrt(1-5)=1\pm2i$. Quanto agli autovettori corrispondenti, per trovarli devi sostituire gli autovalori nell'equazione : $((1-lambda,-4),(1,1-lambda))cdot ((x),(y))=((0),(0))$
Da qui trovi gli autovettori. Tieni presente che queste son cose di base in algebra lineare...
trovi $lambda=1\pm sqrt(1-5)=1\pm2i$. Quanto agli autovettori corrispondenti, per trovarli devi sostituire gli autovalori nell'equazione : $((1-lambda,-4),(1,1-lambda))cdot ((x),(y))=((0),(0))$
Da qui trovi gli autovettori. Tieni presente che queste son cose di base in algebra lineare...
Si il fatto è che ti spiego è cambiato il prof di analisi II e prima cose del genere non erano mai capitate. Comunque sei stato chiarissimo grazie mille!
Vorrei proporre un esercizio simile che mi fa sorgere un altro dubbio:
$x'=x+y$
$y'=x$
Per trovare gli autovalori imposto la matrice associata al sistema e sottraggo $\alpha$ alla diagonale principale per poi calcolare il determinante. In questo caso è chiaro che il determinante è -1 non c'è dipendenza da $\alpha$ quindi?
Il mio dubbio è: nella matrice associata nella prima colonna vanno i valori che nelle due equazioni troviamo vicino alla x e nella seconda quelli vicino alla y?oppure bisogna guardare alla variabile secondo cui è differenziata l'equazione?(cioè nel senso che nella prima che è differenziata secondo x le variabili rispettano l'ordine in cui sono, nella seconda che è differenziata rispetto ad y invece l'ordine delle variabili è invertito vengono prima le y e poi le x, e di conseguenza il determinante della matrice non sarebbe più -1)
$x'=x+y$
$y'=x$
Per trovare gli autovalori imposto la matrice associata al sistema e sottraggo $\alpha$ alla diagonale principale per poi calcolare il determinante. In questo caso è chiaro che il determinante è -1 non c'è dipendenza da $\alpha$ quindi?
Il mio dubbio è: nella matrice associata nella prima colonna vanno i valori che nelle due equazioni troviamo vicino alla x e nella seconda quelli vicino alla y?oppure bisogna guardare alla variabile secondo cui è differenziata l'equazione?(cioè nel senso che nella prima che è differenziata secondo x le variabili rispettano l'ordine in cui sono, nella seconda che è differenziata rispetto ad y invece l'ordine delle variabili è invertito vengono prima le y e poi le x, e di conseguenza il determinante della matrice non sarebbe più -1)
Lo chiedo anche perché nell'esercizio precedente la seconda equazione era ambigua, cioè i coefficenti di x e y erano tutti e due 1 quindi se anche li scambiamo di posto non cambia niente, invece mettiamo il caso che fosse stato:
$x'=x-4y$
$y'=2x+y$
La matrice sarebbe:
$((1 ,-4),(2 ,1))$
oppure:
$((1 ,-4),(1 ,2))$
????
$x'=x-4y$
$y'=2x+y$
La matrice sarebbe:
$((1 ,-4),(2 ,1))$
oppure:
$((1 ,-4),(1 ,2))$
????
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