Help sulle proprietà della trasformata di Fourier!
Ciao a tutti, sono una specializzanda in matematica, non riesco a dimostrare che se una funzione è dispari la sua trasformata di Fourier è dispari, deve essere una scemenza ma io non ne cavo piede, mi si è chiuso il cervello ormai, riuscite ad aiutarmi? grazie!
Risposte
Ricordati questa formula:
$ccF[u(x/lambda)](xi)=|lambda|hat u (lambda xi)$, vera per ogni $\lambda \in RR, x, xi\in RR^N$ (indico con $x$ la variabile della $u$ e con $xi$ la variabile della trasformata).
Applicala con $lambda=-1$ e si svela l'arcano. Un consiglio: fatti uno schemino con le principali proprietà algebriche e differenziali della TDF e consultalo quando hai dubbi. Dopo un po' di esercizio ti si ficca nella testa.
$ccF[u(x/lambda)](xi)=|lambda|hat u (lambda xi)$, vera per ogni $\lambda \in RR, x, xi\in RR^N$ (indico con $x$ la variabile della $u$ e con $xi$ la variabile della trasformata).
Applicala con $lambda=-1$ e si svela l'arcano. Un consiglio: fatti uno schemino con le principali proprietà algebriche e differenziali della TDF e consultalo quando hai dubbi. Dopo un po' di esercizio ti si ficca nella testa.
Si ma non dovrei dimostrare che $\hat{f}(-\xi)=-\hat{f}(\xi)$? con il valore assoluto davanti a $\delta$ non riesco a portare fuori $-1$. ci ho provato anche così ma non funziona, questa la si utilizza per dimostrare la parte in cui la $f$ è pari ma con $f$ dispari non funziona.
scusa ho sbagliato a scrivere, volevo dire che devo fare il valore assoluto di $\lambda$ per cui $|-1|=1$. quindi non mi viene $-\hat{f}(\xi)$
Ma la trasformata di Fourier è lineare, quindi $ccF[-u]=-ccF$.
ecco grazie a questo non avevo pensato! grazie mille!
ascolta un altra cosa, adesso sto studiando il teorema della trasformata di fourier della derivata, lo conosci?
Si, mi riferivo a questo gruppo di teoremi quando parlavo di "proprietà differenziali della TDF".
non capisco un pezzo della dimostrazione, mi puoi aiutare? o chiunque altro.
allora il teorema dice in pratica che se la $f$ è assolutamente continua e sommabile e derivabile sino all'ordine $n-1$ con anche queste continue, allora la trasformata della derivata è data dalle seguente formula: $F[f^{(n)}](\xi)=(i2\pi)^{n} \xi^{n}\ \hat{f}$.
la dimostrazione la si inizia per $n=1$ per cui si ha che:
$F[f^{\prime}](\xi)=\int\exp^{-2\pi i x \xi} \ f^{'}(x) dx=2\pi i \xi \ \int\exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x) dx+ \exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x) $ dove l'ultimo termine lo si calcola tra $-\infty$ e $+\infty$.
Poi si dimostra che l'ultimo termine è nullo cioè che:
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} \exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x) $
e lo si dimostra considerando
$f(x)=\int_{0}^{x}f^{\prime}(t)dt=f(x)-f(0)=f(x)$ perchè $f(0)=0$
Ora il mio professore ha detto che se passo al limite di ambo i membri ho a destra un numero, perchè la derivata della $f$ è sommabile e quindi il suo integrale è finito.
Quindi anche a sinistra dovrò avere un numero, cioè anche il limite della $f(x)$ dovrà essere finito, ma che l'unica possibilità è che siano entrambi nulli. Io non ho capito questa parte finale, perchè devono essere per forza entrambi nulli? daccordo che sono finiti, ma non riesco a capire perchè tendono a zero. Siccome penso che sia la parte più importante della dimostrazione non mi va di non capirla, frazie mille!
allora il teorema dice in pratica che se la $f$ è assolutamente continua e sommabile e derivabile sino all'ordine $n-1$ con anche queste continue, allora la trasformata della derivata è data dalle seguente formula: $F[f^{(n)}](\xi)=(i2\pi)^{n} \xi^{n}\ \hat{f}$.
la dimostrazione la si inizia per $n=1$ per cui si ha che:
$F[f^{\prime}](\xi)=\int\exp^{-2\pi i x \xi} \ f^{'}(x) dx=2\pi i \xi \ \int\exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x) dx+ \exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x) $ dove l'ultimo termine lo si calcola tra $-\infty$ e $+\infty$.
Poi si dimostra che l'ultimo termine è nullo cioè che:
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} \exp^{-2\pi i x \xi} \ f(x) $
e lo si dimostra considerando
$f(x)=\int_{0}^{x}f^{\prime}(t)dt=f(x)-f(0)=f(x)$ perchè $f(0)=0$
Ora il mio professore ha detto che se passo al limite di ambo i membri ho a destra un numero, perchè la derivata della $f$ è sommabile e quindi il suo integrale è finito.
Quindi anche a sinistra dovrò avere un numero, cioè anche il limite della $f(x)$ dovrà essere finito, ma che l'unica possibilità è che siano entrambi nulli. Io non ho capito questa parte finale, perchè devono essere per forza entrambi nulli? daccordo che sono finiti, ma non riesco a capire perchè tendono a zero. Siccome penso che sia la parte più importante della dimostrazione non mi va di non capirla, frazie mille!
Ah, è semplice. Ne abbiamo parlato poco tempo fa, credo il mese scorso, comunque riscrivo.
Se hai una funzione $f$ sommabile in $RR^n$ (in simboli $f \in L^1(RR^n)$), in generale non hai informazioni sul suo comportamento all'infinito, non fosse altro perché con queste sole ipotesi si tratterebbe di una funzione definita solo quasi ovunque. Ma se sai che $f$ è continua (è sufficiente che sia puntualmente definita) e regolare all'infinito, allora necessariamente il limite deve essere $0$.
Se il limite fosse un numero diverso, diciamo $lambda>0$ (se $lambda<0$ rifai tutto con $-f$ in luogo di $f$) arriveremmo ad una contraddizione con la sommabilità; infatti scelto $epsilon>0$ tale che $lambda-epsilon>0$, esisterebbe $delta >0 $ tale che per ogni $|x|>delta$ si avrebbe $f(x)>lambda-epsilon$ e perciò $int_{|x|>delta}f(x)"d"x>int_{|x|>delta}(lambda-epsilon)"d"x=(lambda-epsilon)int_{|x|>delta}"d"x=\infty$, ma per ipotesi $f$ è sommabile.
Se hai una funzione $f$ sommabile in $RR^n$ (in simboli $f \in L^1(RR^n)$), in generale non hai informazioni sul suo comportamento all'infinito, non fosse altro perché con queste sole ipotesi si tratterebbe di una funzione definita solo quasi ovunque. Ma se sai che $f$ è continua (è sufficiente che sia puntualmente definita) e regolare all'infinito, allora necessariamente il limite deve essere $0$.
Se il limite fosse un numero diverso, diciamo $lambda>0$ (se $lambda<0$ rifai tutto con $-f$ in luogo di $f$) arriveremmo ad una contraddizione con la sommabilità; infatti scelto $epsilon>0$ tale che $lambda-epsilon>0$, esisterebbe $delta >0 $ tale che per ogni $|x|>delta$ si avrebbe $f(x)>lambda-epsilon$ e perciò $int_{|x|>delta}f(x)"d"x>int_{|x|>delta}(lambda-epsilon)"d"x=(lambda-epsilon)int_{|x|>delta}"d"x=\infty$, ma per ipotesi $f$ è sommabile.
grazie mille! ogni volta che scrivo in questo forum non capisco tutto quello che mi scrivono ma ora si! grazie mille!
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