Help Serie
Stabilire il carattere della serie al variare di $ainR$:$\sum_{k=0}^{\infty}(a^n/((n^2+3n+1)^(1/2))$.E' possibile dire che se $a>1$ si ha una serie a termini non negativi e poichè il lim della successione generatrice non è zero la serie diverge?
Risposte
Sì... ma devi studiare anche il caso $a=1$ e il caso $a<0$.
caso 1 $a>=0$
Io dato che la seria è a termini positivi applicherei il criterio del rapporto
$\lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n+1}}{sqrt(n^2 +1 +2n+3n+3+1)} \frac{sqrt(n^2 +3n+1)}{a^n} =$
$= \lim_{n \to + \infty} a \sqrt(\frac{n^2 (1+ 3/n +1/n^2)}{n^2 (1+5/n +5/n^2)}) =a$
Per $a>1$ la serie diverge, per $0<=a<1$ converge.
Vediamo $a=1$.
$1/sqrt(n^2 +3n + 1) $~$ 1/n$, allora diverge.
caso 2 $a<0$
Il termine della serie diventa $\frac{(-1)^n |a|^n}{sqrt(n^2 +3n+1)}$.
Se $-1<=a<0$ per il criterio delle serie a termini oscillanti di Leibniz, converge.
se $a<-1$ non esiste limite.
Paola
caso 1 $a>=0$
Io dato che la seria è a termini positivi applicherei il criterio del rapporto
$\lim_{n \to + \infty} \frac{a^{n+1}}{sqrt(n^2 +1 +2n+3n+3+1)} \frac{sqrt(n^2 +3n+1)}{a^n} =$
$= \lim_{n \to + \infty} a \sqrt(\frac{n^2 (1+ 3/n +1/n^2)}{n^2 (1+5/n +5/n^2)}) =a$
Per $a>1$ la serie diverge, per $0<=a<1$ converge.
Vediamo $a=1$.
$1/sqrt(n^2 +3n + 1) $~$ 1/n$, allora diverge.
caso 2 $a<0$
Il termine della serie diventa $\frac{(-1)^n |a|^n}{sqrt(n^2 +3n+1)}$.
Se $-1<=a<0$ per il criterio delle serie a termini oscillanti di Leibniz, converge.
se $a<-1$ non esiste limite.
Paola
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