[HELP] Risoluzione/impostazione sviluppo in serie Fourier
Ciao ragazze/i, volevo chiedervi una mano con uno sviluppo in serie di Fourier della seguente funzione
$ sinx / (2 + cosx) $
da esprimere in termini di soli seni. Non riesco a trovare il modo di esprimerlo direttamente in somme di seni (non so se sia possibile) attraverso l'uso di formule trigonometriche, evitando quindi di svolgere l'integrale. In quest'ultimo caso, infatti, non riesco a trovare una soluzione ne per parti ne riscrivendo seno e coseno con le formule di Eulero.
E' il primo post, spero sia comprensibile!
Vi ringrazio.
$ sinx / (2 + cosx) $
da esprimere in termini di soli seni. Non riesco a trovare il modo di esprimerlo direttamente in somme di seni (non so se sia possibile) attraverso l'uso di formule trigonometriche, evitando quindi di svolgere l'integrale. In quest'ultimo caso, infatti, non riesco a trovare una soluzione ne per parti ne riscrivendo seno e coseno con le formule di Eulero.
E' il primo post, spero sia comprensibile!
Vi ringrazio.
Risposte
Una domanda: lo sviluppo lo cerchi su [tex]$[0,2\pi]$[/tex] o su un altro intervallo? In ogni caso così ad occhio non credo tu riesca a farlo senza integrali (ho provato a farlo per i primi 2,3 casi e non vengono fuori coefficienti tanto semplici).
Un metodo alternativo potrebbe essere quello di usare lo sviluppo di Taylor con variabile [tex]$t=\sin x$[/tex] ed usando l'identità che lega le potenze di [tex]$\sin x$[/tex] con i valori di [tex]$\sin(nx)$[/tex] cercare di tirare fuori i risultati.
Ci penso e ti faccio sapere.
Un metodo alternativo potrebbe essere quello di usare lo sviluppo di Taylor con variabile [tex]$t=\sin x$[/tex] ed usando l'identità che lega le potenze di [tex]$\sin x$[/tex] con i valori di [tex]$\sin(nx)$[/tex] cercare di tirare fuori i risultati.
Ci penso e ti faccio sapere.
Si, scusami, ho scordato erroneamente di inserire queste informazioni.
L'intervallo d'integrazione considerato è $ [0, \pi ] $ anche se poi effettuo l'estensione dispari in $ [ -\pi , \pi ] $ (identica cosa di $ [0, 2\pi ] $)
Ho provato diversi casi senza integrali ma niente, poichè il 2 al denominatore complica le cose. Ho provato anche con le varie integrazioni ma nulla. Quel che cercavo era esattamente quel che tu scrivi, penso, anche se in realtà non avevo pensato a Taylor. Avevo pensato infatti di riscrivere $ f(x) $ attraverso la parametrizzazione delle due funzioni con, se non erro,
$ sin x = 2t/(1+(t)^(2)) $
e
$ cos x = (1-(t)^2)/(1+(t)^(2)) $
in questo modo, riscrivendo il $ sin(nx) $ come dici, e risolvendo l'integrale rispetto alla $t$ forse ci si riesce. Ci proverò. Intanto se hai buone nuove fammi sapere, ti ringrazio!
L'intervallo d'integrazione considerato è $ [0, \pi ] $ anche se poi effettuo l'estensione dispari in $ [ -\pi , \pi ] $ (identica cosa di $ [0, 2\pi ] $)
Ho provato diversi casi senza integrali ma niente, poichè il 2 al denominatore complica le cose. Ho provato anche con le varie integrazioni ma nulla. Quel che cercavo era esattamente quel che tu scrivi, penso, anche se in realtà non avevo pensato a Taylor. Avevo pensato infatti di riscrivere $ f(x) $ attraverso la parametrizzazione delle due funzioni con, se non erro,
$ sin x = 2t/(1+(t)^(2)) $
e
$ cos x = (1-(t)^2)/(1+(t)^(2)) $
in questo modo, riscrivendo il $ sin(nx) $ come dici, e risolvendo l'integrale rispetto alla $t$ forse ci si riesce. Ci proverò. Intanto se hai buone nuove fammi sapere, ti ringrazio!
Comunque, per la cronaca, l'esercizio che sto risolvendo è il seguente.
"Si consideri l'equazione alle derivate parziali
$ (del u(x,t))/(del t) = - (del^(4) u(x,t))/(del x^(4)) -m^(2)u(x,t) $
con $m$ un parametro arbitrario.
1a) si scriva la soluzione generale con condizioni al contorno
$ u(0,t)= u(pi,t)=0 $
e condizioni iniziali
$ u(x,0)= phi(x) $
con $ phi(x)$ funzioni arbitrarie, spiegando in dettaglio il procedimento seguito.
1b) si scriva la soluzione nel caso particolare
$ phi(x) = (sin(x))/(2+cos(x))$
La soluzione generale che ho individuato è
$ u(x,t) = sum_(n = 1)^(oo) An sin(nx) e^{-(m^(2)+n^(4))t} $
(non sono riuscito a scrivere An con il pedice n più piccolo)
Da qui imponendo la condizione iniziale richiesta trovo che
$ An = (2/pi)int_(0)^(pi) phi(x)sin(nx)dx $
e poi c'è il blocco...non riesco ad andare avanti. Ho provato con il tuo metodo ma forse non ho ben capito cosa fare. Grazie ancora!
"Si consideri l'equazione alle derivate parziali
$ (del u(x,t))/(del t) = - (del^(4) u(x,t))/(del x^(4)) -m^(2)u(x,t) $
con $m$ un parametro arbitrario.
1a) si scriva la soluzione generale con condizioni al contorno
$ u(0,t)= u(pi,t)=0 $
e condizioni iniziali
$ u(x,0)= phi(x) $
con $ phi(x)$ funzioni arbitrarie, spiegando in dettaglio il procedimento seguito.
1b) si scriva la soluzione nel caso particolare
$ phi(x) = (sin(x))/(2+cos(x))$
La soluzione generale che ho individuato è
$ u(x,t) = sum_(n = 1)^(oo) An sin(nx) e^{-(m^(2)+n^(4))t} $
(non sono riuscito a scrivere An con il pedice n più piccolo)
Da qui imponendo la condizione iniziale richiesta trovo che
$ An = (2/pi)int_(0)^(pi) phi(x)sin(nx)dx $
e poi c'è il blocco...non riesco ad andare avanti. Ho provato con il tuo metodo ma forse non ho ben capito cosa fare. Grazie ancora!
Sei sicuro che ci sia una derivata parziale quarta? Mi sembra strano che tu non abbia allora altre condizioni al contorno! Fammi sapere.
Si, sicurissimo! Il testo è esattamente quello di cui sopra. Convieni con me che il risultato generale è quello di cui sopra? Almeno per capire se fin li ci siamo 
Ho chiesto ad una collega di anni passati: non ricorda come si svolgeva, ma mi ha detto che spesso e volentieri il professore richiede risoluzioni applicando nei passaggi intermedi sviluppi in serie di Taylor, così come suggerivi. Continuo a pensarci su! Grazie ancora!
Ho chiesto ad una collega di anni passati: non ricorda come si svolgeva, ma mi ha detto che spesso e volentieri il professore richiede risoluzioni applicando nei passaggi intermedi sviluppi in serie di Taylor, così come suggerivi. Continuo a pensarci su! Grazie ancora!
Dunque, io a primo acchito userei la separazione di variabili: quindi pongo [tex]$u(x,t)=F(x)\cdot G(t)$[/tex]. A questo punto ottengo la forma seguente per l'equazione:
[tex]$F\cdot \dot{G}=-F^{(iv)}\cdot G-m^4 F\cdot G\ \Rightarrow\ \frac{F^{(iv)}}{F}=-\frac{\dot{G}}{G}-m^4=k\in\mathbb{R}$[/tex]
in quanto hai una identità tra due funzioni dipendenti da variabili diverse e quindi l'unica possibilità è che tutto risulti costante. Ne vengono fuori le due equazioni differenziali ordinarie
[tex]$F^{(iv)}-k F=0,\qquad \dot{G}+(k+m^4)G=0$[/tex]
Ora, il problema sta nella prima equazione differenziale: quella è una equazione di quarto ordine, di conseguenza la forma generale è molto più "complessa" di quella che hai scritto tu. Infatti, l'equazione algebrica associata risulta [tex]$\lambda^4-k=0$[/tex] il che impone di trovare le radici quarte di [tex]$k$[/tex] (che sono 4 complesse). Indicate queste radici con [tex]$\lambda_i,\ i=1,2,3,4$[/tex] ricavi la soluzione
[tex]$F(x)=\sum_{i=1}^4 C_i e^{\lambda_i x},\qquad C_i\in\mathbb{R}$[/tex]
E qui succede un macello: tu hai solo 2 condizioni sulla [tex]$F(x)$[/tex] che equivalgono a dire che [tex]$F(0)=F(\pi)=0$[/tex]. Dove stanno le altre due? Scritto così, il problema assume una soluzione molto più complicata di quella che hai scritto. Dovresti avere, perlomeno, i valori della derivata prima di [tex]$F(x)$[/tex] calcolati agli estremi dell'intervallo, oppure i valori di altre derivate (non oltre la terza).
Se invece sei certo della richiesta delle condizioni al bordo, bè allora sappi che la soluzione che stai cercando è molto, molto, molto più complicata di quella che pensi tu! Infatti in generale essa potrebbe essere della forma seguente:
Se [tex]$k=p^2>0$[/tex] allora [tex]$F(x)=C_1 e^{\sqrt{p} x}+C_2 e^{-\sqrt{p} x}+C_3\sin(\sqrt{p} x)+C_4\cos(\sqrt{p} x)$[/tex]
Se [tex]$k=-p^2<0$[/tex] allora [tex]$F(x)=e^{\sqrt{2p} x/2}\left[C_1\sin(\sqrt{2p} x/2)+C_2\cos(\sqrt{2p} x/2)\right]+e^{-\sqrt{2p} x/2}\left[C_3\sin(\sqrt{2p} x/2)+C_4\cos(\sqrt{2p} x/2)\right]$[/tex]
e considerato che hai solo 2 condizioni, in generale potrebbero andare bene entrambe!
[tex]$F\cdot \dot{G}=-F^{(iv)}\cdot G-m^4 F\cdot G\ \Rightarrow\ \frac{F^{(iv)}}{F}=-\frac{\dot{G}}{G}-m^4=k\in\mathbb{R}$[/tex]
in quanto hai una identità tra due funzioni dipendenti da variabili diverse e quindi l'unica possibilità è che tutto risulti costante. Ne vengono fuori le due equazioni differenziali ordinarie
[tex]$F^{(iv)}-k F=0,\qquad \dot{G}+(k+m^4)G=0$[/tex]
Ora, il problema sta nella prima equazione differenziale: quella è una equazione di quarto ordine, di conseguenza la forma generale è molto più "complessa" di quella che hai scritto tu. Infatti, l'equazione algebrica associata risulta [tex]$\lambda^4-k=0$[/tex] il che impone di trovare le radici quarte di [tex]$k$[/tex] (che sono 4 complesse). Indicate queste radici con [tex]$\lambda_i,\ i=1,2,3,4$[/tex] ricavi la soluzione
[tex]$F(x)=\sum_{i=1}^4 C_i e^{\lambda_i x},\qquad C_i\in\mathbb{R}$[/tex]
E qui succede un macello: tu hai solo 2 condizioni sulla [tex]$F(x)$[/tex] che equivalgono a dire che [tex]$F(0)=F(\pi)=0$[/tex]. Dove stanno le altre due? Scritto così, il problema assume una soluzione molto più complicata di quella che hai scritto. Dovresti avere, perlomeno, i valori della derivata prima di [tex]$F(x)$[/tex] calcolati agli estremi dell'intervallo, oppure i valori di altre derivate (non oltre la terza).
Se invece sei certo della richiesta delle condizioni al bordo, bè allora sappi che la soluzione che stai cercando è molto, molto, molto più complicata di quella che pensi tu! Infatti in generale essa potrebbe essere della forma seguente:
Se [tex]$k=p^2>0$[/tex] allora [tex]$F(x)=C_1 e^{\sqrt{p} x}+C_2 e^{-\sqrt{p} x}+C_3\sin(\sqrt{p} x)+C_4\cos(\sqrt{p} x)$[/tex]
Se [tex]$k=-p^2<0$[/tex] allora [tex]$F(x)=e^{\sqrt{2p} x/2}\left[C_1\sin(\sqrt{2p} x/2)+C_2\cos(\sqrt{2p} x/2)\right]+e^{-\sqrt{2p} x/2}\left[C_3\sin(\sqrt{2p} x/2)+C_4\cos(\sqrt{2p} x/2)\right]$[/tex]
e considerato che hai solo 2 condizioni, in generale potrebbero andare bene entrambe!
@ElVicio!: Una curiosità: da dov'è preso l'esercizio?
@Gugo82: L'esercizio è un testo d'esame messo a disposizione dal professore. Non nego che possano esserci degli errori, ma siccome sono pubblicati a file (cambiano le costanti per capirci) è effettivamente come l'ho scritto sopra. Se necessario posto il link al testo d'esame!
Cmq, mi rendo conto che la soluzione scritta forse sia molto "semplice" ma pensavo fosse corretta in funzione di quanto studiato. Solo che, per ottenere soluzioni non banali al problema, mi pare si debba considerare solo il caso in cui quello che tu chiami $k$ abbia valori negativi, per cui le quattro radici complesse ti permettono di riscrivere la soluzione in forma di coseni e seni (rispettivamente parte reale e immaginaria) per le quali, imponendo le condizioni al contorno io dovrei poter essere in grado di trovare non solo il valore preciso di $k$ ma anche quello delle varie costanti $Ci$.
La soluzione con $k=0$ fornisce soluzione banale (seno e coefficiente del coseno nulli) mentre la soluzione con radici reali ti porta a trovare nuovamente una soluzione banale (coefficienti di seno e coseno nulli).
Erro?
Cmq, mi rendo conto che la soluzione scritta forse sia molto "semplice" ma pensavo fosse corretta in funzione di quanto studiato. Solo che, per ottenere soluzioni non banali al problema, mi pare si debba considerare solo il caso in cui quello che tu chiami $k$ abbia valori negativi, per cui le quattro radici complesse ti permettono di riscrivere la soluzione in forma di coseni e seni (rispettivamente parte reale e immaginaria) per le quali, imponendo le condizioni al contorno io dovrei poter essere in grado di trovare non solo il valore preciso di $k$ ma anche quello delle varie costanti $Ci$.
La soluzione con $k=0$ fornisce soluzione banale (seno e coefficiente del coseno nulli) mentre la soluzione con radici reali ti porta a trovare nuovamente una soluzione banale (coefficienti di seno e coseno nulli).
Erro?
@ElVicio: Il link sarebbe gradito... Avere qualche esercizio in più a disposizione fa sempre comodo. 
Noto che il testo messo in rete riporta l'equazione
$ (del u(x,t))/(del t) = - (del^(4) u(x,t))/(del x^(4)) -m^(2)u(x,t) $
con il paramentro $m^2 $ invece che $m^4$.
$ (del u(x,t))/(del t) = - (del^(4) u(x,t))/(del x^(4)) -m^(2)u(x,t) $
con il paramentro $m^2 $ invece che $m^4$.
Si, errore mio, ma essendo una costante non dovrebbe influire sulla soluzione generale del problema, mantenendolo arbitrario!
Comunque oggi ho chiesto ad un altro collega e, da quel che lui ha verificato, pare che la $phi(x)$ considerata si debba risolvere con i metodi dell'analisi complessa. Ancora non ho studiato questa parte e cercherò di mettermi in pari, magari vedendo se in questo modo riesco ad ottenere la soluzione. Ringrazio tutti di nuovo!
Comunque oggi ho chiesto ad un altro collega e, da quel che lui ha verificato, pare che la $phi(x)$ considerata si debba risolvere con i metodi dell'analisi complessa. Ancora non ho studiato questa parte e cercherò di mettermi in pari, magari vedendo se in questo modo riesco ad ottenere la soluzione. Ringrazio tutti di nuovo!
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